Funciones

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE ARQUITECTUR Y URBANISMO

DEBER 1

• DEFINICION:

Es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio.

• FUNCIONES NUMERICAS

Relación:

Es un conjunto de pares ordenados que están formadas por un elemento del primer conjunto (salida), y un elemento del segundo conjunto (llegada).

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas. Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática) Por ejemplo: Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que: S ---> I Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

Función:

Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos x e y, a una de ellas la llamamos variable dependiente pues depende de los valores de la otra para su valor, suele ser la y, a la otra por tanto se la denomina variable independiente y suele ser la x. Pero además para que una relación sea función a cada valor de la variable independiente le corresponde uno o ningún valor de la variable dependiente, no le puede corresponder dos o más valores. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.

Elementos de una función:

Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente (y) e independiente(x)). Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f).Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f).

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES:

Función inyectiva:

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Función Sobreyectiva:

Sea “f” una función de A en B , f es una función epiyectiva (también llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

Función Biyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .

Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.

• ANALISIS DE FUNCIONES

FUNCIONES Y GRÁFICAS

1. Concepto “intuitivo” de función. Las funciones como descripción de fenómenos

¿Qué son las funciones?

- la posición de un móvil es función del tiempo

- la presión atmosférica es función de la altura

- el peso medio de los chicos depende de la edad....

Expresiones semejantes ilustran bien lo que es una función en matemáticas. Las de arriba significan que:

- a cada tiempo le corresponde un espacio recorrido (a una velocidad determinada)

- a cada altura le corresponde una presión atmosférica

- a cada edad le corresponde un peso medio.

A esta asignación se le llama función.

El conjunto de elementos a los que se le asigna algo se llama el conjunto de definición o dominio de la función o campo de existencia. El conjunto de esos algos que se les va asignando se llama recorrido o conjunto imagen.

Expresiones algebraicas de una función. Formas de determinar una función

EXPRESIÓN SIMBÓLICA DE UNA FUNCIÓN

Las que estudiaremos nosotros son las que a cada número de un cierto conjunto le asigna otro número: funciones numéricas que llamaremos simplemente funciones.

Definición 1. Se llama función real de variable real a toda aplicación:

f : D ---------à R

x ------------à f(x) o y =f(x) siendo D Ì R el dominio.

La letra f simboliza la asignación u operación que hay que hacer a la x, que llamaremos variable independiente, al valor f(x) se le llama variable dependiente o imagen de x.

Ejemplo 3. La función f(x) =x2

Ejercicio 1. Hallar el dominio de las siguientes funciones;

a) ;

b): g(x) = ln (x2+1);

c) ; y = ;

d)

Representación gráfica

El conjunto de todos los pares 8x, y) donde x recorre el dominio de f se llama la gráfica de f. La gráfica es una herramienta muy útil para visualizar propiedades y comportamientos de una función (Ver apartado 4)

Para representar una función se debe considerar:

- El dominio o campo de existencia

- Los cortes con los ejes

- El signo de la función. Regiones de existencia

- La simetría de la gráfica.

- Los intervalos de crecimiento.

–La relación con otras funciones conocidas.

Traslaciones y suma de gráficas. Representación conjunta de gráficas

En la figura 1 están representadas las gráficas de f(x)= x2 y la de g(x)=x2 -2

En la figura 2 están representadas las gráficas de f(x)= x2 y g(x) = (x +1)2

En la figura 3 están representadas las gráficas de las funciones f(x)=x2 , g(x)= x3 y h(x) = x2 +x3

OPERACIONES CON FUNCIONES

a) Suma de funciones

Dadas dos funciones f y g se define la función suma g +g por:

(f +g)(x)=f(x)+g(x)

Se verifica que Dom (f +g)= Dom fÇDom g.

b) Producto de funciones

Dadas dos funciones f y g se define la función producto f.g así

(f.g)(x)= f(x).g(x)

Se verifica que Dom(f .g)= DomfÇDomg

c) Cociente de funciones

Dadas dos funciones f y g se define la función cociente f/g por:

(f/g)(x) = f(x)/g(x), siempre que g(x) sea distinto de 0.

Se verifica que Dom(f /g)= DomfÇDomg -{xÎR/g(x)¹0}

d) Composición de funciones

Dadas las funciones f y g se define la función compuesta de f y g

(fog)(x) = f(g(x))

Se verifica que Dom (fog)= {xÎDom f / f(x) ÎDom g }ÌDom f

Observación. El dominio de la composición a veces no coincide con el dominio de la función resultante de efectuar las operaciones indicadas en la composición.

FUNCIÓN INVERSA

Si f : D------------à R es inyectiva, existe una función g: Imf----------à D tal que gof =I, I(x) =x para todo x del dominio de f (I se llama identidad). A g se le llama la inversa de f y se representa en general por f -1.

Las gráficas de f y f-1son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

CÁLCULO PRÁCTICO DE LA INVERSA

Si y = f(x) la expresión de f-1 se obtiene despejando la x:

Interpretación de gráficas. Qué aspectos de la gráfica conviene estudiar

Cuando se nos presenta la gráfica de una función, nos basta una simple ojeada para conocer como es dicha función e intuir sus propiedades.

Para hacer una interpretación acertada de la gráfica no es preciso tener grandes conocimientos matemáticos, pues se puede intuir:

- Dominio de f.

- Simetría (funciones pares e impares)

- Crecimiento y decrecimiento.

- Máximos y mínimos absolutos y relativos (muy fáciles de determinar si tenemos la gráfica)

- Ramas infinitas: AV, AH, AO

- Periodicidad

5. Tipos de funciones mas “frecuentes”. Sus gráficas.

-Funciones polinómicas de 1er grado (repasarlas)

-Funciones polinómicas de 2º grado (repasarlas)

- Funciones potenciales de exponente natural, y=xn

Su dominio es R.

Si n es par:

Estas funciones:

Son

Tienen el valor mínimo en (0, 0) y es 0.

Las gráficas son simétricas respecto al eje OY (funciones pares)

Pasan todas por los puntos (-1,1), (0, 0), (1, 1)

Si n es impar:

Estas funciones son crecientes para todo R (no tienen por tanto ni máximo ni mínimo)

Las gráficas son simétricas respecto al origen (funciones impares)

Todas pasan por los puntos (-1, -1), (0, 0), (1, 1)

FUNCIONES RACIONALES

Caso particular f(x)=1/x (expresa la relación

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