Física Computacional II

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Índice

Tema 1: Resolución de ecuaciones no lineales        5

Tema 2: Solución de sistemas de ecuaciones        27

Tema 3: Interpolación y ajuste de curvas        51

Tema 4: Aproximación de funciones        73

Tema 5: Derivación e integración numéricas        89

Tema 6: Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias        105

INTRODUCIÓN

Esta es una recopilación de los trabajos que he ido haciendo durante el año 2015 (de octubre a diciembre), para la asignatura del grado de Física de la UNED. En total son seis trabajos, los cuales se centran en diferentes métodos numéricos que se han estudiado en la asignatura.

El tema 1 trata sobre la resolución de ecuaciones no lineales. Lo que se intenta hacer aquí es básicamente encontrar los “ceros” de una ecuación concreta cuando los métodos algebraicos no son suficientes para resolver el problema. En la Prueba se plantea el estudio de la fuerza central a través de su energía. Un ejemplo de esta fuerza central es la fuerza gravitacional.

El tema 2 se consigna a la resolución de sistemas de ecuaciones. En este estudio se introduce el álgebra matricial como medio idóneo para resolver estos sistemas. En la Prueba se plantea la solución de un circuito a través de las leyes de Kirchhoff.

En el tema 3 se estudia la interpolación y ajuste de curvas. Se intenta buscar la mejor curva que se ajuste a una serie de puntos dados. En la Prueba se proporcionan unos puntos que representan cantidades de carbono 14 en un material frente a su antigüedad estimada. Lo que se pide es ajustar una curva lo mejor posible a estos valores.

El tema 4 versa sobre la aproximación de funciones. Es la antítesis del tema anterior,  ya que ahora se parte de una función, la cual queremos reconstruir a través de métodos numéricos. La prueba trata de aproximar unos puntos a una función a través del método de mínimos cuadrados. (Quizá esta prueba es más parecida a la temática del tema 3, pero es lo que hay…)

El tema 5 es derivación e integración numérica. El título es autoexplicativo. Se trata de derivar e integrar a través de métodos numéricos, en contraposición a los analíticos. En la prueba se nos proporcionan las integrales de Fresnel, para las cuales debemos calcular una serie de valores.

Por último, el tema 6 trata de la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Muchos de estos métodos están basados en series de Taylor, como el método más famoso, Runge-Kutta. La prueba estudia la Fuerza de Lorentz ya que esta es una ecuación diferencial. Se pide calcular la trayectoria de un electrón o positrón en diferentes estados iniciales.

Para todas estas pruebas se han diseñado programas en lenguaje C, los cuales quedan reflejados en los diferentes anexos de cada documento. Además, en ocasiones se utiliza WxMaxima y la herramienta de representación gráfica GNUPlot.

Tarea  del Tema 1

Una fuerza central es aquella que est´a dirigida a lo largo de la direccio´n radial a un centro fijo entorno al cual se mueve el cuerpo (de masa m) sometido a la fuerza y cuya magnitud (el m´odulo de la fuerza) solo depende de la distancia a ese punto,

F(r) = F (r)ur

El que un cuerpo se encuentre sometido a una fuerza radial confiere dos carac- ter´ısticas  fundamentales  a  su  movimiento:  la  energ´ıa  se  conserva,  esto  es  la  fuerza  es es conservativa; y el par de fuerzas aplicado sobre la part´ıcula es nulo (ya que en todo momento  la  fuerza  y  el  vector  de  posici´on  de  la  part´ıcula  son  paralelos).  La  segunda de las condiciones implica que el momento angular del movimiento (L) es constante. Puesto  que  L  es  constante,  el  movimiento  de  la  part´ıcula  queda  confinado  al  plano perpendicular  a  la  direcci´on  del  vector  momento  angular  (cualquiera  que  esta  sea). Esto permite describir de forma sencilla el movimiento en t´erminos de las coordenadas polares  planas  (r  y  θ).  Utilizando  estas  coordenadas  la  energ´ıa  total  del  movimiento puede  escribirse como:

1[pic 31]

E =                m   r˙  + r  θ        + V (r) 2

Expresi´on  en  la  que  el  t´ermino  V (r) representa  la  energ´ıa  potencial  de  la  part´ıcula (cuya  forma  depender´a  de  la  forma  particular  de  la  fuerza  central  aplicada)  y  en  la que el primer t´ermino  1 m   r˙2 + r2θ˙2     representa las contribuciones radial y angular a la energ´ıa cin´etica. Ahora bien, puesto que el m´odulo del momento angular L = mr2θ˙ del movimiento es constante, podemos escribir algunos de los t´erminos de E en funci´on de este m´odulo[pic 32][pic 33]

1        2        L2        1        2[pic 34][pic 35][pic 36]

E =                mr˙ 2

+                + V (r) =         mr˙ 2mr2        2

+ Veff (r).

Expresi´on  que  nos  dice  que  E  es  s´olo  funci´on  del  valor  de  la  coordenada  radial,  de

su primera derivada temporal r˙ y del valor del m´odulo L del momento angular.

En  el  caso  particular  de  que  la  part´ıcula  se  mueva  en  un  campo  gravitatorio,  la energ´ıa potencial V (r) toma la forma,

α V (r) = − r[pic 37]

Para resolver esta Tarea supondremos los siguientes valores de las constantes m = 1,

α = 5 y L = 1, en unidades del Sistema Internacional.

[pic 38]

1. Mediante el  m´etodo de Newton calcule el valor de r  que hace que sea  m´ınimo el[pic 39]

potencial efectivo V

eff

L2

2mr2[pic 40]

• r .

1. En  el  caso  de  que  la  part´ıcula  tuviera  una  energ´ıa  tal  que  E = Veff (rmin),  siendo[pic 41]

rmin  el  valor  que  se  ha  calculado  en  el  apartado  anterior,  ¿qu´e  peculiaridad  tendr´ıa  el movimiento de la part´ıcula?

Supongamos  que,  adem´as  de  los  valores  fijados  anteriormente,  exigimos  ahora  que E =    1 (valor  dado  tambi´en  en  unidades  del  Sistema  Internacional).  Podremos  ahora calcular los valores de r para los que la part´ıcula tiene una velocidad radial nula (r˙ = 0) resolviendo la ecuaci´on,[pic 42]

L2        α

E = 2mr2  − r[pic 43][pic 44]

1. Obtenga,  utilizando  alguno  de  los  m´etodos  num´ericos  estudiados  en  este  tema que  no  sea  el  de  Newton,  el  (o  los)  valores  de  r  que  satisfacen  dicha  ecuaci´on.  En  el caso de que encuentre m´as de una soluci´on, razone por qu´e sucede esto para este valor de E indicando la forma que tiene la o´rbita descrita por la part´ıcula. Discuta, teniendo en cuenta el nu´mero de soluciones encontradas en este apartado y en el apartado i) las similitudes  y  diferencias  entre  los  movimientos  descritos  por  la  part´ıcula  en  cada  una de las situaciones.

Finalmente, supongamos que fijamos el valor E = +1  (en unidades del Sistema

Internacional),

1. Calcule  el  valor  de  r  que  es  soluci´on  de  esa  u´ltima  ecuaci´on  usando  el  m´etodo

de Newton normal. Repita el c´alculo usando la aceleraci´on de Aitken para encontrar la soluci´on. Mediante una representaci´on logar´ıtmica de los errores en funci´on del nu´mero de  pasos  en  la  convergencia  compare  la  convergencia  de  los  dos  m´etodos  y  estime  el orden  de  convergencia  de  cada  uno  de  los  m´etodos  (NOTA:  para  estimar  el  orden de  convergencia  y  discutir  esta  cuesti´on  no  es  necesario  realizar  ajustes  por  m´ınimos cuadrados).

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