GEOMETRIA FRACTAL

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS “ESPE”

INGENIERÍA ELECTRÓNICA EN AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL

GEOMETRÍA FRACTAL

DANIEL GEOVANNY DOMÍNGUEZ REYES

dan_niel95@hotmail.com

23/05/2013

ÍNDICE

ÍNDICE 1

INTRODUCCIÓN 3

1.- GEOMETRÍA FRACTAL 4

2.- BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA FRACTAL 4

3.- SURGIMIENTO DE FRACTALES 6

4.- CONCEPTO DE FRACTALES 8

5.- CARACTERÍSTICAS DE UN FRACTAL 9

5.1.- AUTOSIMILITUD 9

5.1.1.- AUTOSIMILITUD EXACTA 10

5.1.2.- CUASIAUTOSIMILITUD 10

5.1.3.- AUTOSIMILITUD ESTADÍSTICA 10

5.2.- DEFINICIÓN POR ALGORITMOS RECURSIVOS 10

5.2.1.- SISTEMAS DE FUNCIONES ITERADAS (IFS) 10

5.2.2.- FRACTALES DE ALGORITMOS DE ESCAPE 10

5.2.3.- FRACTALES ALEATORIOS 11

6.- TIPOS DE FRACTALES 11

7.- DIMENSIÓN FRACTAL 13

8.- FRACTALES Y TEHORÍA DEL CAOS 16

8.1.- EJEMPLO 1 17

8.2.- EJEMPLO 2 18

8.3.- EJEMPLO 3 19

9.- FRACTALES Y MATEMÁTICA 19

9.1.- TRIÁNGULO DE PASCAL Y TRIÁNGULO DE SIERPINSKI 19

9.2.- EL NÚMERO PI DENTRO DEL CONJUNTO DE MANDELBROT 20

9.3.- CONJUNTOS DE JULIA 21

9.4.- FAMILIAS DE FRACTALES: EL CONJUNTO DE MANDELBROT 23

9.5.- EL MÉTODO DE MANDELBROT: DIFERENTES FRACTALES ITERANDO POTENCIAS DE Z 23

9.5.1.- EJEMPLOS DE FRACTALES DEL TIPO MANDELBROT 23

9.5.2.- EJEMPLOS DE FRACTALES DEL TIPO MANDELBROT 24

9.5.3.- MÁS FRACTALES SEGÚN EL MÉTODO MANDELBROT 24

9.6.- EL MÉTODO DE JULIA: DIFERENTES FRACTALES ITERANDO POTENCIAS DE Z 25

9.6.1.- EJEMPLOS DE FRACTALES DEL TIPO JULIA 25

9.6.2.- EJEMPLOS DE FRACTALES DE TIPO JULIA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL eZ 26

9.6.3.- EJEMPLOS DE FRACTALES DEL TIPO JULIA COMPLEJAS 27

9.7.- MÉTODO DE NEWTON 27

9.8.- DESCOPOSICIÓN DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA EN SU PARTE REAL Y SU PARTE IMAGINARIA 28

9.7.1.- OTRAS FUNCIONES DE Z 28

10.- APLICACIONES 29

10.1.- COMPRESIÓN DE IMAGENES 29

10.2.- MODELADO DE FORMAS NATURALES 29

10.3.- SISTEMAS DINÁMICOS 30

10.4.- MANIFESTACIONES ARTÍSTICAS 30

11.- BIBLIOGRAFÍA 31

12.- ANEXO 32

12.1.- ¿QUÉ HARÍA USTED SI FUERA POBRE? 32

12.2.- ¿QUÉ HARÍA USTED SI GANARA LO JUSTO? 32

12.3.- ¿QUÉ HARÍA USTED SI TUVIERA MUCHO DINERO? 33

INTRODUCCIÓN

En la vida diaria se nos presentan muchos problemas sencillos y sin darnos cuenta manejamos infinidad de "fórmulas" para solucionarlos. Por ejemplo, para almacenar objetos en un almacén o garaje la mejor forma es hacerlo en cajas: así podemos clasificar el contenido de cada una, y apilarlas de forma estable para aprovechar el espacio restante. El secreto está en que la caja, con su forma geométrica, permite crear un orden aparente del caos que vamos a esconder en ella.

Pues la obsesión por utilizar formas geométricas para organizarlo todo viene de muy atrás: Los seres prehistóricos vivían en un entorno natural donde apenas existían formas regulares; tenían sus sentidos adaptados para sobrevivir en un mundo caótico lleno de peligros, y es muy probable que quedasen maravillados al contemplar objetos de tales características. Las formas regulares eran tan escasas en la naturaleza que se convirtieron en algo mágico; Pronto se dieron cuenta de la utilidad de aquellas formas tan puras y quisieron sacar provecho de ello, fabricaron infinidad de utensilios adaptados a sus necesidades, como por ejemplo la rueda, uno de los inventos más destacables.

Así fuimos transformando nuestro entorno durante miles de años hasta la actualidad, llegando a crear las fórmulas que hoy nos permiten manejar las formas regulares de manera más eficiente. A esto lo llamamos geometría clásica o euclídea. La transformación fue tan grande, que todo lo que no era explicable mediante geometría euclídea lo considerábamos caótico y sin sentido.

Sin embargo existe otro tipo de geometría, que siempre ha estado ante nosotros, pero que nunca hemos sabido tratar con la herramienta adecuada hasta que hace poco surgiera una nueva rama de las matemáticas para su estudio. Se trata de la geometría de los objetos irregulares. Esta rama de las matemáticas es aplicable a infinidad de objetos y comportamientos como pueden ser las ramificaciones que describe un rayo al avanzar por el aire, el movimiento de una avalancha de rocas, la distribución de estrellas y galaxias en el universo, etc. A esto se lo llama geometría fractal, la geometría del caos y sin sentido; aparentemente.

1.- GEOMETRÍA FRACTAL

Es geometría que no distingue entre conjunto matemático y objeto natural. Este nuevo paradigma engulle paradigmas anteriores proyectando un modelo que inaugura una nueva zona o región de lo real.

“Tómese un número complejo, multiplíquese por sí mismo y súmese el número inicial; tómese el resultado, multiplíquese por sí mismo, súmese el inicial... y así sucesivamente. A esta iteración en principio errática se le asignan puntos sobre un plano. Disponga papel, lápiz y moneda con cara y cruz, fijemos ciertas reglas para cada lanzamiento; por ejemplo desplazar el punto X centímetros al noreste si sale cara y acercarse un 50% al centro inicial si sale cruz. Se perfila, progresiva y sorprendentemente el dibujo de la hoja de helecho como en la figura mientras el ordenador hace esta tarea menos ardua en pantalla y en décimas de segundo” .

Fig. 1. Hoja de Helecho.

“Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica” .

2.- BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA FRACTAL

Mandelbrot representa el enfoque moderno de la matemática y es considerado padre de la geometría fractal debemos remontarnos a 1935 cuando se funda la célebre escuela Bourbaki, organizadora del nuevo pensamiento matemático. Sus miembros fundadores eran: André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel y Szolem Mandelbrojt, colaboradores de Nicolas Bourbaki.

Los objetivos fundamentales de Bourbaki eran la reconstrucción del edificio matemático sobre bases axiomáticas. Sus trabajos cristalizaron en la redacción de una enciclopedia, “Éléments de Mathematique”.

En 1945, Szolem recomienda a su sobrino Benoît la lectura de un escrito de 300 páginas de Gaston Julia (1893-1978) titulado “Mémoire sur l’iteration des fonctions rationelles”, precursor de la moderna teoría de sistemas dinámicos. Y, de acuerdo con las ideas de la escuela de la que formaba parte, añadió: “Olvida la geometría”.

El discípulo Mandelbrot no se interesó mucho por la lectura recomendada por su maestro, bien por la clase de problemas planteados por su tío acerca de aquella, o porque Benoît enfocaba las Matemáticas desde un punto de vista muy diferente. Adicionalmente, hizo caso omiso de la recomendación acerca de la geometría. Por otra parte, Benoît recobró interés por la publicación mencionada en 1970. Con ayuda de las facilidades computacionales puestas a su disposición por IBM a partir de 1957 en el centro de investigación Thomas J. Watson, contribuyó a crear las ilustraciones de su ensayo de 1975. Y, curiosamente, en 1980, con ayuda de un ordenador VAX, pantalla Tektronix y hardcopy Versatac, sorprendió a la comunidad científica con el primer dibujo detallado de un gráfico deducido de la evolución del sistema dinámico en el campo complejo.

Barnsley descubre esta dinámica en 1985 sin usar números complejos recurriendo a la aleatoriedad del juego del caos.

“Tras milenios de ser usadas para descubrir leyes que gobiernan sobre una naturaleza fundamentalmente pasiva, las matemáticas descubren los atractores o focos activos internos de cada sistema físico. En vez de limitarse a despejar incógnitas en sistemas lineales idealizados, emplean una técnica iterativa donde las funciones se realimentan por el procedimiento de volver sobre ellas mismas” .

3.- SURGIMIENTO DE FRACTALES

No fue hasta el año 1958 cuando Benoit Mandelbrot ingresa a trabajar en los laboratorios de IBM para hacer un análisis del ruido y perturbaciones eléctricas.

Mientras realizaba dichos estudios encontró un patrón en su comportamiento y por lo tanto comenzó a descifrar una estructura escondida. Algo así como jerarquías de fluctuaciones en todas las escalas. Lo que sí es cierto es que esas fluctuaciones no podían ser descriptas por la matemática estadística que existía.

Mientras seguía adelante con sus tareas empezó a imaginar en que otros sistemas podrían encontrar patrones similares que no puedan ser descriptos con exactitud por la matemática existente y que se comportaran de igual manera. Su visión lo llevó a hacerse una pregunta que para la mayoría de nosotros puede resultar obvia y hasta para muchos otros ser trivial, o en el mejor de los casos sin sentido. Su famosa pregunta fue: ¿Cuánto mide realmente la costa de Inglaterra? Así, cualquiera que tome un libro de geografía o un mapa va a poder contestar esto sin ningún tipo de problema. Imaginemos que el dato que encontramos es de 2.000 kilómetros. Ahora bien, esos 2.000 km., ¿De dónde provienen? ¿Cómo se midieron? Para contestar esto voy a proponer tres situaciones diferentes, con distintos puntos de vista:

a. Si medimos las costas de Inglaterra desde un satélite, vamos a ver que sus

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