Geometría

1.1 Antecedentes históricos

La historia de las matemáticas considera a René Descartes el fundador del sistema matemático y moderno y, por lo tanto, el padre de la geometría analítica.

Descartes provenía de una antigua y noble familia de Normandía. Su madre murió al nacer él, por lo que fue atendido en el colegio de jesuitas de La Fleche, donde recibió una información cuidadosa y profunda en temas científicos fundamentada en los libros de Clavius, en los Elementos de Euclides y en temas de geometría práctica y álgebra.

Como voluntario del ejército protestante, conoce en Ulm al maestro Faulhaber, quien le ayuda a plantear su filosofía en un campamento invernal de Neuburgo en el Danubio, por aquel tiempo hace su primer descubrimiento matemático sobre el teorema de Euler, que trata de los poliedros.

Después de abandonar el servicio militar, y con la influencia de Ramée y Montaigne, René Descartes deja de lado la filosofía natural tradicional por ser infructuosa, con clasificaciones sin contenido e interpretación que conduce, mediante conclusiones propias, de lo complejo a lo sencillo, de la hipótesis a la evidencia; lo que se propone es hacer una matemática sistematizada y severa, y parte únicamente de bases y conceptos escritos, con lenguaje sencillo, claro y preciso para que pueda grabarse fácilmente en la memoria.

Su principal objetivo es unir a la geometría con el álgebra, actividad iniciada por Viete; Descartes sustituye las palabras enteras, abreviaturas y notaciones por un simbolismo puro, cuidadosamente ideado, que se ha podido conservar casi íntegro hasta nuestros días.

Descartes en su geometría analítica de 1637, considera el segmento como una unidad o como un número y transforma así la geometría en aritmética; como la suma, la resta, la multiplicación y la división de segmentos de lugar a otro segmento , Descartes relaciona los números con las mismas operaciones, y enfrenta problemas puramente algebraicos, ya que sabe que todos los problemas geométricos de carácter lineal y cuadrático pueden resolverse con regla y compás, pues los considera problemas de plano. Descartes quiere resolver gráficamente ecuaciones de grado mayor por curvas algebraicas engendradas paso a paso por mecanismos lineales del movimiento, al usar elementos de referencia en posiciones especiales; resuelve el problema de las normales a las curvas algebraicas evitando operaciones infinitesimales; entre sus ejemplos aclaratorios figuran la concoide y el llamado óvalo de Descartes; habla de la tangente, creyendo haber resuelto todas las cuestiones principales de la matemática y que sus métodos de tangentes normales son los más sencillos.

Descartes y Fermat son los inventores de la geometría sobre ejes de coordenadas, donde el álgebra y la geometría se reúnen en el trazado de gráficas de ecuaciones y desigualdades.

El cálculo y la geometría analítica marcan el comienzo de las matemáticas modernas en el siglo XVII.

Geometría analítica

Estudia las figuras geométricas utilizando

un sistema de coordenadas y resuelve los

problemas geométricos por métodos

algebraicos; las coordenadas se representan

por grupos numéricos y las figuras por

ecuaciones.

EJERCICIO I

1. Nombre del fundador de la geometría analítica.

René Descartes.

2. ¿Cuáles son los contenidos de los libros de Clavius?

Geometría práctica y álgebra.

3. ¿Cuál fue el primer descubrimiento matemático de Descartes?

Fue sobre el teorema de Euler, que trata de los poliedros.

4. ¿Quién ya había intentado unir el álgebra y la geometría?

Viete.

5. Explica de que manera integró Descartes el álgebra y la geometría.

Sustituyó las palabras enteras, abreviaturas y notaciones por un simbolismo puro, cuidadosamente ideado.

6. ¿Cuál es el concepto de geometría analítica?

Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos; las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones.

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

1. Investiga la biografía de René Descartes.

René Descartes

René Descartes fue un filósofo cuyo trabajo, La geometrie, incluye su aplicación del álgebra a la geometría a partir de la cual tenemos hoy en día la geometría Cartesiana.

Nació: 31 de Marzo de 1596 en La Haya (hoy Descartes), Turena, Francia.

Murió: 11 de Febrero de 1650 en Estocolmo, Suecia.

Descartes fue educado en el colegio Jesuita de La Fléche en Anjou. Entró a la escuela a la edad de ocho años, justo pocos meses después de la apertura de la escuela en Enero de 1604. Estudió allí hasta el 1612, estudiando los clásicos, lógica y la filosofía tradicional Aristotélica. También aprendió matemáticas a partir de los libros de Clavius. Mientras se encontraba en la escuela su salud era mala y se le otorgó el permiso para quedarse en cama hasta las 11 de la mañana, una costumbre que conservó hasta el año de su muerte.

La escuela le hizo comprender a Descartes lo poco que sabía, el único tema que era satisfactorio para él eran las matemáticas. Esta idea se convirtió en la base de su manera de pensar y fue la forma para la base de todos sus trabajos.

Descartes pasó tiempo en Paris, aparentemente manteniéndose ensimismado, después estudió en la Universidad de Poitiers. Obtuvo un título en leyes en Poitiers en 1616 y después se enlistó en la escuela militar en Breda. En 1618 comenzó a estudiar matemáticas y mecánica con el científico holandés Isaac Beeckman, y comenzó a buscar una ciencia unificada de la naturaleza. Después de dos años en Holanda, viajó por Europa. Después en 1619 se unió al ejército Bávaro.

Desde 1620 a 1628, Descartes viajó por toda Europa, pasando algún tiempo en Bohemia (1620), Hungría (1621), Alemania, Holanda y Francia (1622-23). Pasó un tiempo en Paris en 1623 donde contactó con Mersenne, un contacto importante que lo mantuvo relacionado con el mundo científico durante muchos años. Desde Paris viajo a Italia donde pasó algún tiempo en Venecia y después regreso nuevamente a Francia (1625).

Ya cansado de sus viajes, Descartes en 1628 decidió establecerse fijo. Pensó mucho al respecto para escoger un país de acuerdo con su manera de ser y escogió Holanda. Fue una buena decisión de la que parece ser que nunca se arrepintió durante los siguientes veinte años.

Muy pronto, después de establecerse en Holanda, comenzó su trabajo en su mayor primer tratado sobre física, Le Monde, ou Traité de la Luimiére. Estaba por completar este trabajo cuando le llegaron las noticias de que Galileo había sido condenado a arresto domiciliario, Él quizá muy acertadamente, decidió no arriesgarse a publicar, y su trabajo fue publicado, solo en parte, después de su muerte. Él explico su cambio de dirección más adelante diciendo:

…de manera de expresar mi juicio más libremente, sin tener que ser llamado a autorizar o a refutar las opiniones de los conocedores, he resuelto dejar todo este mundo a ellos y a hablar solamente de lo que podría pasar en un nuevo mundo, si Dios fuese ahora a crearlo…y permitirle actuar en acuerdo con las leyes que Él estableció.

En Holanda, Descartes tenía un número de amigos científicos y contactos continuos con Mersenne. Su amistad con Beeckman continuaba y también tenía contacto con Mydorge, Hortensius, Huygens y Frans van Schooten (el mayor).

Descartes fue presionado por sus amigos a publicar sus ideas y aunque estaba obstinado en no publicar Le Monde, escribió un tratado sobre la ciencia bajo el título Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences (conocido simplemente como Discurso del método). Tres apéndices de éste trabajo fueron La Dioptrique, Les Météores y la Géométrie. El tratado fue publicado en Leiden en 1637 y Descartes le escribió a Mersenne diciendo:

He tratado en mi ‘Dióptrica’ y en mi ‘Météores’ mostrar que mi método es mejor que el vulgar y en mi ‘Geometría’ lo he demostrado.

Este trabajo describe lo que Descartes consideró ser una manera más satisfactoria de adquirir el conocimiento que el presentado por la lógica de Aristóteles. Solo las matemáticas, siente Descartes, son ciertas, de modo que todo debe estar basado en ellas.

La Dióptrica es un trabajo sobre óptica y aunque Descartes no cita a científicos anteriores para las ideas que expresa, de hecho hay muy poco novedoso. Sin embargo su enfoque a través de la experimentación fue una contribución muy importante.

Les Météores es un trabajo sobre meteorología y es importante por ser el primer trabajo que intenta llevar el estudio del tiempo sobre una base científica. Sin embargo muchas de la pertensiones de Descartes están no solo equivocadas sino que podía verse fácilmente que estaban mal si hubiese realizado algunos experimentos sencillos. Por ejemplo, Roger Bacon demostró el error en la creencia común de que el agua que había sido hervida se congela más rápidamente

A pesar de sus muchas fallas, el tema de meteorología siguió su curso después de la publicación de Les Météores en particular a través del trabajo de Boyle, Hooke y Halley.

La Géométrie es por mucho, la parte más importante de este trabajo. En [3] Scott resume la importancia de este trabajo en cuatro puntos:

1. Realiza el primer paso hacia una teoría de las invariables,

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