GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Gemometria Descriptiva II

Lista de tareas:

• Teorema de Tales: Este teorema nos dice que si dos rectas no paralelas son cortadas por rectas paralelas, esto da como resultado segmentos proporcionales sobre las rectas no paralelas.

[pic 1]Donde se cumple: [pic 2]

APLICACIÓN: En la geometría descriptiva este teorema nos puede servir para el tema de las escalas en caso tal de no tener escalimetro, o para dividir cualquier segmento en partes iguales ya que nos ayuda a trabajar con proporciones.

• Teorema de Pitágoras: En este teorema se establece la relación de los lados de un triángulo rectángulo el cual dice que: “En todo triangulo rectángulo, su hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

[pic 3]

APLICACIÓN:

Otro teorema que podemos aplicar en la materia es el siguiente:

• Teorema de la bisectriz interior: Este teorema nos dice que en todo triángulo la bisectriz interior divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes, por lo tanto se cumple lo siguiente:

[pic 4][pic 5][pic 6]

APLICACIÓN: Este teorema lo podemos utilizar para dividir cualquier tipo de triangulo en dos partes proporcionales.

• Triángulos: Son figuras geométricas planas los cuales poseen tres lados que tienen contacto entre sí por puntos comunes llamados vértices. También podemos decir que son figuras planas formadas por poligonales cerradas de tres lados.

• Clasificación: Estos se puedes clasificar de dos formas:

Según sus lados tenemos a los equiláteros, donde todos sus lados son iguales; los isósceles los cuales tienen solo dos lados iguales y los escalenos donde sus lados son desiguales.

Según sus ángulos entre ellos están los rectángulos los cuales tienen un ángulo recto (90°), dos lados similares (catetos) y contrapuestos al tercero (hipotenusa); los obtusángulos son conocidos por tener un ángulo obtuso (<90°) y dos agudos (>90°), por ultimo están los acutángulos esto quiere decir que sus tres ángulos internos son agudos (>90°).

• Construcción de triángulos: al momento de construir triángulos nos pueden ocurrir tres casos como son los siguiente:

1. Construir un triángulo conociendo los tres lados

Vamos a construir un triángulo en el que conocemos las medidas de los tres lados (a, b y c).

• Se dibuja con una regla el segmento que representa al lado a.
• Sobre los extremos de este segmento, que serán dos vértices, se trazan con el compás arcos con radios iguales a la longitud del lado b y del lado c respectivamente.
• El punto de intersección es el otro vértice.

1. Construir un triángulo conocidos los lados y el ángulo que forman.

• Se dibuja el segmento que representa el lado a.
• Desde uno de los extremos se traza con el transportador el ángulo que conocemos.
• Se lleva el lado b sobre este lado del ángulo y se unen los extremos de a y b para construir el tercer lado.
• Construir un triángulo conocidos un lado y los dos ángulos contiguos.

1. Se debe cumplir que la suma de los dos ángulos sea menor que 180º.

• Se dibuja el segmento que representa al lado a.
• Desde sus extremos, que son dos vértices del triángulo, se trazan con el transportador los ángulos que conocemos.
• El punto de unión de los lados de los ángulos es el tercer vértice.

• Congruencia: la congruencia de triángulos se basa en determinar si dos o más triángulos son iguales, rigiéndose por una serie de criterios que determinan si son o no son congruentes. Estos criterios son los siguiente:

1. LLL: Tomando dos triángulos en cuenta, se dice que son congruentes si sus lados son iguales entre sí, es decir:

[pic 7]

1. LAL: tomando en cuenta los mismos triángulos, también se dice que son congruentes si tienen dos lados iguales y también tienen el mismo ángulo que se forma con la unión de dichos lados, es decir:

[pic 8]

1. ALA: Se dice que estos triángulos son congruentes si tienen un lado igual, y que los ángulos que se forman en los extremos de dicho lado también lo sean, es decir:

[pic 9]

1. LLA: Al contrario que el caso anterior esto nos dice que dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al mayor de los lados también sea igual, es decir:

[pic 10][pic 11]

• Teoremas: Sobre los triángulos se conocen numerosos teoremas, algunos acerca de sus lados, otros sobre sus ángulos y también aquellos que relacionan lados y ángulos. Algunos ejemplos son:

• La suma de los ángulos internos: este teorema nos dice que la suma de dichos ángulos internos da como resultado 180°

[pic 12]

• La suma de los ángulos externos: nos dice que la suma de los ángulos externos da como resultado 360°

[pic 13]

• Teorema del ángulo exterior: En todo triangulo la medida de un ángulo exterior es el resultado de la suma de dos ángulos internos no adyacentes a él.

[pic 14]

• Teorema de la desigualdad triangulas (propiedad de existencia): en todo triangulo, la longitud de uno de sus lados es menor a la suma de los otros dos lados pero mayor que su diferencia.

[pic 15]

• Teorema del lado mayor (propiedad de correspondencia): En un triángulo, al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa.

[pic 16]

• En un triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes

[pic 17]

• También tenemos los teoremas de los triángulos rectángulos, que son los siguiente:

El teorema de Pitágoras que se explicó anteriormente (pág. 1)

El teorema de la altura, que dice así: "En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa."

[pic 18]

Y el teorema del cateto, el cual dice: “El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la hipotenusa"

[pic 19]

• Cuadriláteros: Son polígonos de cuatro lados, tienen distintas formas pero todos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos la suma de sus ángulos da 360°

• Clasificación: estos se clasifican según el paralelismo de sus lados, entre ellos tenemos:

• Paralelogramos: en estos cuadriláteros sus lados opuestos son paralelos dos a dos y se caracterizan por cumplir los siguientes criterios:

• Los lados opuestos tienen la misma longitud.

• Los ángulos opuestos son iguales.

• Las diagonales se cortan en su punto medio.

                     A su vez, se clasifican en:

• Los rectángulos: estos tienen lados iguales dos a dos, y todos sus ángulos son rectos.

[pic 20]

• Los rombos: los cuales tienen sus cuatro lados iguales.

[pic 21]

• Los cuadrados: tienen todos sus lados iguales, al igual que sus ángulos.

[pic 22]

• Trapecios: son cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Estos se clasifican en:

• Trapecios rectángulos: tienen dos ángulos rectos.

[pic 23]

• Trapecios isósceles: los lados no paralelos tienen la misma longitud.

[pic 24]

• Trapecios escalenos: no tienen ningún lado igual ni ángulo recto.

[pic 25]

• Los trapezoides: son cuadriláteros cuyos lados no son paralelos.

[pic 26]

• Construcción: La forma de hacer la construcción será diferente en función de los datos que se conozcan y del tipo de cuadrilátero.

Construir un cuadrado conociendo el lado.

OPERACIONES:

1. Se coloca el lado a (lado del cuadrado que se da como dato) en la posición de la base.
2. Desde los extremos del lado a, se trazan dos perpendiculares.
3. Mediante dos arcos, se lleva el lado a sobre las perpendiculares.
4. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el cuadrado pedido.

[pic 27]

Construir un cuadrado conociendo su diagonal d.

OPERACIONES:

1. Sobre un punto cualquiera se trazan dos rectas perpendiculares entre sí: recta r y recta s.
2. Se traza la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas r y s.
3. Sobre la bisectriz se lleva la diagonal.
4. Desde este punto se trazan paralelas a las rectas r y s.
5. Utilizando estos puntos, se construye el cuadrado.

[pic 28]

Construir un rectángulo conocidos los lados.

OPERACIONES:

1. Sobre una recta cualquiera r se coloca un lado del rectángulo, por ejemplo el lado a.
2. Sobre un extremo del lado a (por ejemplo el punto A) se traza una recta s perpendicular a este lado y, sobre la perpendicular, se lleva el lado b.
3. Desde el otro extremo del lado a (punto B) se traza un arco de radio b.
4. Desde el punto D (extremo del lado b) se traza un arco de radio igual al lado a.
5. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el rectángulo.

[pic 29]

Construir un rectángulo conocidos la diagonal y un lado.

OPERACIONES:

1. Se coloca la diagonal d (segmento AB) sobre una recta cualquiera r.
2. Se halla el punto medio M de la diagonal y se traza una circunferencia que pase por sus extremos (puntos A y C).
3. Desde A y C se trazan dos arcos de radio a.
4. Se unen los puntos hallados (B y D), con los extremos de la diagonal (A y C), y se obtiene el rectángulo.

[pic 30][pic 31]

Construir un rombo conocidos una diagonal y su lado.

OPERACIONES:

1. Se coloca la diagonal sobre una recta r cualquiera. Se obtienen los puntos A y C.
2. Con el lado a como radio, se trazan dos arcos desde A y C. Obtenemos los puntos B y D.
3. Se unen los extremos de la diagonal (A y C) con los puntos hallados (B y D) y se obtiene el rombo.

[pic 32]

Construir un romboide conocidos los lados y la altura.

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