Geometria Analitica

LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO

Se denomina lugar geométrico al conjunto de los puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. Dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano y/o en términos del valor de un ángulo.

En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son elementos sencillos (una recta, una circunferencia, una curva cónica,...), mientras que en otras ocasiones pueden corresponderse con trazados mucho más complejos.

Ejemplos de lugares geométricos elementales son la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, una circunferencia, una recta paralela a otra,...

También las curvas cónicas se pueden considerar como lugares geométricos. Así una elipse es el lugar geométrico de la suma de las distancias de un punto a dos dados (los focos) que es constante.

REPRESENTACION GRAFICA

ASÍNTOTAS

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Las asíntotas se clasifican en:

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

LA RECTA:

Es un conjunto de puntos colocados unos detrás de otros en la misma dirección.

La línea recta no tiene principio ni fin. Cuando dibujamos una línea recta, en realidad, representamos una parte de ella. Unas veces la representamos con dos letras mayúsculas que se refieren a dos de sus puntos, o bien, con una letra minúscula.

ECUACION GENERAL DE LA RECTA

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.

De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).

Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación

Ax + By + C = 0

Que también puede escribirse como

ax + by + c = 0

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CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:

TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA.

Dada la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria o general, hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia que tiene dicha ecuación dados un punto de contacto, la pendiente de la de la recta buscada o un punto exterior por el cual pasa la recta tangente.

En geometría elemental se estudia únicamente la tangente a una curva: la circunferencia, el estudio hecho es insuficiente para las curvas planas en general, por ello, estudiaremos un método que se aplique a todas las curvas existentes en el siguiente apartado.

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Paso 1: Hallar el centro de la circunferencia

Para elllo completamos cuadrados:

x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0

( x^2 - 4x + 4 ) - 4 + ( y^2 + 6y + 9 ) - 9 - 12 = 0

( x^2 - 4x + 4 ) + ( y^2 + 6y + 9 ) = 25

( x - 2 )^2 + ( y + 3 )^2 = 5^2

luego, se trata de una circunferencia de centro C ( 2 ; - 3) y radio 5

Paso 2: Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el centro de la circunferencia y por el punto P

C ( 2 ; - 3)

P ( 5 ; 1 )

( y + 3 ) / ( x - 2) = ( 1 + 3 ) / ( 5 - 2 )

( y + 3 ) / ( x - 2) = 4 / 3

y + 3 = 4 ( x - 2 ) / 3

y + 3 = 4x / 3 - 8 / 3

y = 4x / 3 - 8 / 3 - 3

y = 4x / 3 - 17 / 3

Esta es la ecuacion de la recta que pasa por el centro de la circunferencia y por el punto P. Esta recta contiene al radio, luego es perpendicular a la recta tangente buscada, entonces:

pendiente de la recta que contiene al radio = 4 / 3

pendiente de la recta tangente buscada = - 3 / 4

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Paso 3: Hallar la ecuacion de la recta tangente a la circunferencia

pasa por ( 5 , 1 ) y tiene pendiente igual a ( - 3 / 4 ), luego,

( y - 1 ) / ( x - 5 ) = - 3 / 4

4 ( y - 1 ) = - 3 ( x - 5 )

4y - 4 = - 3 x + 15

4y = - 3x + 19

y = - 3x / 4 + 19 / 4

CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES:

Dos circunferencias se dicen ortogonales si son secantes y en un punto común (de intersección) sus tangentes respectivas son perpendiculares. (Notemos que --por la propiedad de que el radio al punto de tangencia es perpendicular a la tangente la definición es equivalente a decir que sus radios respectivos a uno de los puntos de intersección son perpendiculares.)

LA PARÁBOLA

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARABOLA

Aceptamos el significado de general como la parábola cuyo vértice no está situado en el origen de coordenadas.

Supongamos que el vértice de una parábola cuando su eje focal es paralelo al eje Y se halla situado en el punto (h,k).

En este caso tendremos que trasladar el vértice al nuevo punto quedándonos establecida la fórmula:

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Hacemos operaciones:

Damos valores a:

Sustituyendo estos valores en (I) obtenemos la ecuación general de la parábola:

ECUACIÓN CANONICA DE LA PARABOLA

La ecuación canónica de una parábola con foco en (h, k+p) y vértice en (h, k) es

(x – h)² = 4 p (y – k)

Reemplazando por los datos consignados, se tiene:

h = 4

k+p = 5

k = 2

p = 5 - 2 = 3

Entonces la ecuación queda:

(x - 4)² = 12 (y - 2)

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ELIPSE

Una elipse es el conjunto de todos los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es una constante.

ECUACIÓN GENERAL

Si el centro de la elipse C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0−c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.

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ELEMENTOS DE LA ELIPSE:

Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

EJE SECUNDARIO: Es la mediatriz del segmento FF'.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, ces el valor de la semidistancia focal.

Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor:Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

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HIPÉRBOLA

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positivo

ECUACIÓN GENERAL:

Pasar a la forma general [(Ax2+By2+Cx+Dy+E=0)] la ecuación ordinaria , correspondiente a una hipérbola.

Eliminemos los denominadores y desarrollemos los cuadrados:

4(x-2)2-9(y+3)2=36

4(x2-4x+4)-9(y2+6y+9)=36

4x2-16x+16-9y2-54y-81=36

4x2-9y2-16x-54y-101=0

SOLUCIÓN:

La ecuación de la forma general queda:

4x2-9y2-16x-54y-101=0

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA

La ecuación de una hipérbola con focos en los puntos

F(c, 0) y F''(-c, 0) es

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PROPIEDADES DE LA HIPERBOLA

1. La curva es simétrica a ambos ejes, es decir, la recta focal y la mediatriz del segmento focal son ejes de simetría.

2. El punto de intersección de las dos rectas antes mencionadas es el centro de simetría de la curva, el cual se conoce como centro de la hipérbola.

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