Geometria Analitica

Geometría Analítica

1.1. Fórmulas de Geometría Analítica

A continuación veremos algunas fórmulas básicas de la geometría en el plano cartesiano.

Sean los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2), entonces:

1. Distancia entre los puntos:

2. Punto medio del segmento

3. Pendiente del segmento

4. Ecuación general de la recta: ax + by + c = 0

5. Ecuación principal de la recta: y = mx + n

6. Ecuación punto-pendiente: y - y1 = m(x - x1)

7. Ecuación de la recta por dos puntos:

1.2. Función lineal y función lineal afín

Una función lineal es de la forma: y = mx, y su gráfica es una línea recta que pasa por el origen.

La pendiente de la recta se denomina m y su signo está relacionado con el ángulo que forma con el eje x (medido en sentido contrario a los punteros del reloj).

Interpretación de la pendiente (m):

Si la pendiente es positiva, la recta forma un ángulo agudo con el eje x.

Si la pendiente es negativa, la recta forma un ángulo obtuso con el eje x.

Una función lineal afín es de la forma: y = mx + n con , y su gráfica es una línea recta que no pasa por el origen.

Interpretación geométrica del coeficiente de posición (n)

El coeficiente de posición se denomina n y su valor indica la intersección de la recta con el eje y.

En toda ecuación de recta: y = mx + n, la gráfica intercepta al eje y en el punto (0,n).

Veamos a continuación algunos ejemplos de interpretación de m y n:

1.3. Rectas paralelas y perpendiculares

Si tenemos las pendientes de dos rectas podemos determinar si son paralelas o perpendiculares, a través de las siguientes propiedades:

• Si dos rectas son paralelas entonces tienen igual pendiente.

• Si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es –1.

Ejemplo:

Dadas las rectas: L1: 5x – 3y = 15 y L2: 3x + 5y = 12, determina si son paralelas o perpendiculares.

Primero se debe convertir cada recta a su ecuación principal, despejando la variable y:

La pendiente m corresponde al coeficiente de la variable x, por lo tanto:

Si multiplicamos ambas pendientes obtenemos:

Por lo tanto las rectas son perpendiculares.

A continuación te presentaremos algunos ejemplos relativos a ecuaciones de rectas.

Ejemplo:

¿Cuál es el gráfico de la función 3x-2y+6 = 0?

Primero llevamos la ecuación a ecuación principal:

; de esta última ecuación concluimos que m = 3/2 y n = 3, por lo tanto su gráfica aproximadamente es:

Ejemplo:

¿Cuánto vale p si el punto (2p - 1; p + 1) está sobre la recta 3x-2y+1 = 0?

Reemplazamos las coordenadas (x,y) del punto en las respectivas variables de la ecuación de la recta:

x = 2p - 1 ; y = p + 1

3(2p – 1) –2(p + 1) + 1 = 0

4p – 4 = 0 p = 1

Ejemplo:

¿En qué punto la recta de ecuación: 3x – 2y + 9 = 0 corta el eje x?

El punto donde intercepte al eje x debe tener un valor de y igual a cero. Reemplazando y = 0 en la ecuación de la recta, obtenemos:

3x – 2  0 + 9 = 0  x = - 3

Por lo tanto intercepta al eje x en el punto (-3,0).

Se recomienda visitar los siguientes sitios para trabajar la función lineal y aspectos relativos

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