GEOMETRIA ANALITICA

Geometría Analítica

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado la curva en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

2. Dada la ecuación indeterminada, polinomio, o función determinar en un sistema de coordenadas la gráfica o curva algebraica de los puntos que verifican dicha ecuación.

Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo F(X)=Y, donde f es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x+6y=0), las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x^2 + y^2 = 4, la hipérbola xy = 1), etc.

Localización de un punto en el plano cartesiano

En un plano se traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (X, Y) siendo X la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e Y la distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada X, el signo positivo significa que la distancia se toma hacia la derecha sobre el eje horizontal, y el signo negativo indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada Y, el signo positivo indica que la distancia se toma hacia arriba sobre el eje vertical, tomándose hacia abajo si el signo es negativo.

A la coordenada X se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la Y se la denomina ordenada del punto.

Como proyección sobre los ejes

Se consideran dos rectas orientadas, (ejes), perpendiculares entre sí, "x" y "y", con un origen común, el punto O de intersección de ambas rectas.

Teniendo un punto a, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de la siguiente forma:

Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas determinan en la intersección con los mismos dos puntos, P' (el punto ubicado sobre el eje x) y el punto P'' (el punto ubicado sobre el eje y).

Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P.

A los Puntos P' y P'' le corresponden por número la distancia desde ellos al origen, teniendo en cuenta que si el punto P' se encuentra a la izquierda de O, dicho número será negativo, y si el punto P'' se encuentra hacia abajo del punto O, dicho número será negativo.

Los números relacionados con P' y P'', en ese orden son los valores de las coordenadas del punto P.

Ecuaciones de la recta en el plano.

Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.

La ecuación general de la recta es de la forma:

Ax+By+C=0, cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B.

Una recta en el plano se representa con la función lineal de la forma: y = m x + b,

Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua

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