Geometria Analitica

INTRODUCCIÓN

La Geometría Analítica, es fundamental para el estudio y desarrollo de nuevos materiales que nos facilitan la vida diaria, razón por la cual esta asignatura siempre influye en la vida de todo ser humano.

El objetivo del presente trabajo es ayudar al estudiante del tercer curso curso de Geometría Analítica a comprender de qué manera se relaciona esta asignatura con su entorno, con las actividades que realiza y consigo mismo.

La Ecuación de la Recta, La Ecuación de la Circunferencia, La Ecuación del Elipse, La Ecuación de la Parábola y La Ecuación de la Hipérbola en sus diferentes representaciones (en el origen, fuera del origen y su forma general), son las cinco grandes temáticas en torno a las cuales se centrarán las actividades de aprendizaje en este curso.

Partiendo de que La Geometría Analítica, estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos, donde las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones, abordaremos las temáticas anteriores partiendo de esta definición. 

DEFINICIÓN DE:

GEOMETRÍA ANALÍTICA

La rama de la Matemática que tiene como objeto de estudio a las proporciones y singularidades de distintas figuras ubicadas en un plano o en el espacio se define como geometría. Esta disciplina, según cuentan los expertos, a fin de representar la realidad apela a los sistemas axiomáticos; de esta manera, emplea estructuras matemáticas basadas en símbolos que le permiten desarrollar cadenas que, a su vez, se vinculan a través de ciertas reglas y generan nuevas cadenas.

GEOMETRÍA ANALÍTICA.

A la hora de establecer el origen de la geometría analítica aún existen muchas discusiones entre los matemáticos e historiadores pues unos atribuyen su paternidad a un científico y otros lo hacen a otro diferente. No obstante, lo que sí es cierto e indiscutible es que existen tres figuras históricas que fueron los primeros en utilizarla y desarrollarla de una u otra forma.

Uno de ellos fue el matemático y astrónomo persa Omar Jayam (1048 – 1131). Este llevó a cabo una serie de trabajos que se convertirían en fundamentales en dicha área científica y que ejercerían como pilares para el desarrollo de teorías posteriores. Entre aquellos se encuentran, por ejemplo, Disertación sobre una posible demostración del postulado paralelo o Tesis sobre demostraciones de álgebra.

De estos textos realizados por dicho autor persa parece ser que podría haber “bebido” el científico francés René Descartes (1596 – 1650) que es otra de las figuras clave en el origen de la geometría analítica y es que muchos autores dictaminan que él es el padre de la misma. Así, entre sus principales aportaciones se encontrarían los llamados ejes cartesianos y entre sus trabajos más influyentes está, por ejemplo, La Geometría.

Junto a estas dos importantes figuras no hay que pasar por alto tampoco la del matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665), también conocido como Eric Temple Bell. Este está considerado como el descubridor del principio fundamental de la geometría analítica y ha pasado a la historia no sólo por este sino también por su teoría de los números.

Cabe resaltar que existen distintas clases de geometrías que marcan una especialización desde su nombre, como sucede cuando se habla de geometría descriptiva, proyectiva, plana o de la geometría del espacio. En el caso de la geometría analítica, es una disciplina que propone analizar las figuras a partir de un sistema de coordenadas y valiéndose de métodos propios del análisis matemático y del ámbito del álgebra.

La geometría analítica pretende obtener la ecuación de los sistemas de coordenadas en función de su lugar geométrico. Por otra parte, esta disciplina permite determinar el lugar geométrico de los puntos que forman parte de la ecuación del sistema de coordenadas.

Un punto del plano que forma parte de un sistema de coordenadas se determina mediante dos cifras, que reciben la denominación de abscisa y ordenada del punto. De esta manera, se logra que todos los puntos del plano estén representados a través de dos números reales ordenados y viceversa (es decir, todo par ordenado de dígitos está relacionado con un determinado punto de ese plano).

Estas características permiten al sistema de coordenadas establecer una correspondencia entre el concepto geométrico de los puntos en el plano y el concepto algebraico de los pares ordenadores de números, sentando las bases de la geometría analítica.

Gracias a esta relación, es posible determinar figuras geométricas planas a través de ecuaciones formuladas con dos incógnitas.

Construcciones fundamentales:

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.

Con la geometría analítica se puede determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Éste es un método alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

Localización de un punto en el plano cartesiano.

Como distancia a los ejes:

Ejemplos de ocho puntos localizados en el plano cartesiano mediante sus pares de coordenadas.

En un plano (v.g. papel milimetrado) se traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar

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