Geometria. Triángulos

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Triángulos

Definición: un triangulo es un polígono de tres lados y se clasifica:

Clasificación:

1. Por sus lados:

1. Equilátero: si sus tres lados son congruentes.
2. Isósceles: si tiene dos lados congruentes.
3. Escaleno: si ninguno de los lados son congruentes.

1. Según sus ángulos:

1. Rectángulo: si uno de sus ángulos internos es recto; el lado que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
2. Obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso.
3. Acutángulo: cuando sus tres ángulos son agudos.

Líneas y puntos notables en el triangulo:

1. Mediana: es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las medianas se interceptan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad.

1. Altura: es el segmento perpendicular trazado desde un vértice a su lado opuesto, o a la prolongación de dicho lado. Las tres alturas se interceptan en un punto llamado ortocentro.

1. Bisectriz: es el rayo que partiendo de un vértice biseca al ángulo correspondiente a dicho ángulo. El punto donde concurren las bisectrices interiores se denomina incentro.

1.  Mediatriz: línea recta que biseca perpendicularmente a uno de sus lados. El punto de concurrencia de las mediatrices se llama circuncentro.

1. Ceviana: es todo segmento que une el vértice de un triangulo con un punto cualquiera del lado opuesto.

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Segmentos proporcionales

Definición: dos segmentos AB y CD son proporcionales a otros dos A´B´ y C´D´, si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los otros dos.

Perímetro  del triangulo equilátero con el mayor lado del triangulo anterior: P = 3(48) = 144

Teorema de thales: Tres o más rectas paralelas determinan segmentos proporcionales en dos secantes cualesquiera.

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Si L1 // L2 // L3, y S1, S2 son dos secantes

Cualesquiera, entonces:

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Propiedad.

Si se traza una recta paralela a un lado del triangulo, entonces, esta determina segmento proporcionales sobre los otros dos lados.

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                                  Si L1 // AC entonces    [pic 14]

Semejanza de triángulos

Definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.

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1. ∠A ≅ ∠D,       ∠B ≅ ∠E,       ∠C ≅ ∠F

1. [pic 16]

Relaciones métricas en el triangulo rectángulo

Si un triangulo rectángulo ABC, recto en A, se traza la altura correspondiente a la hipotenusa AH = h, entonces se verifica:

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1. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y sus proyecciones sobre dicha hipotenusa.

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1. La altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa.

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1. La altura correspondiente a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos.

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1. Teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

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Generalizando el teorema de Pitágoras para triángulos oblicuángulos (no rectángulos).

1. Lado opuesto a un ángulo agudo en un triangulo: el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto del uno de estos lados por la proyección del otro lado sobre este.[pic 23]

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1. Lado opuesto a un triangulo obtuso en un triangulo: en la figura el triangulo BAC es obtusángulo, con ángulo B obtuso y h altura relativa al lado AC.

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1. Teorema de la Ceviana o teorema de Stewart: el cuadrado de la longitud de una Ceviana, trazada desde un vértice del lado del triangulo multiplicada por el lado opuesto, es igual a la suma de los productos de los cuadrados de los lados que determinan el vértice, multiplicados por las longitudes de los segmentos opuestos que determina la Ceviana en el tercer lado, menos el producto del tercer lado por el producto de los segmentos en que quedo el tercer lado.[pic 27]

Si xb es la longitud de la Ceviana BT, trazada desde el vértice B, hacia el tercer lado AC de longitud b, y, m y n son las longitudes de los segmentos en que queda dividido el tercer lado, entonces se cumple:

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Cuadriláteros

Definición: los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, que resultan de unir cuatro segmentos de recta.

Clasificación:

1. Paralelogramos: si sus dos pares de lados son paralelos, estos a la vez son:

1. Paralelogramo propiamente dicho.
2. Rectángulo: si sus cuatro ángulos son de 90°.
3. Rombo: si sus cuatro lados son congruentes.
4. Cuadrado: si es rectángulo y rombo a la vez.

1. Trapecio: si solo un par de sus lados son paralelos, pueden ser:

1. Isósceles: si sus lados no paralelos son congruentes.
2. Escaleno: si sus lados no paralelos no son congruentes.
3. Rectángulo: si el trapecio tiene un ángulo recto.

1. Trapezoide: si ningún par de sus lados son paralelos.

Mediana de un trapecio: es el segmento de recta que une los puntos medios de sus lados no paralelos.

Propiedades:

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1. La mediana de un trapecio es paralela a las bases y tiene por medida la semisuma de las longitudes de las bases.

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1. La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es igual a la semidiferencia de sus bases.

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Circunferencia

Definición: es el conjunto de puntos del plano que equidistan de otro punto fijo del mismo del plano denominado: Centro.

La región del plano limitada por la circunferencia recibe el nombre de círculo

Elementos:

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• Centro: punto “O”.
• Radio: segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la curva: OA= R.
• Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
• Secante: recta que contiene a una recta: LS.
• Tangente: recta que toca en un punto de la circunferencia: LT.
• Diámetro: cuerda que pasa por el centro.
• Arco: parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella: [pic 33]

• Sector circular: es la parte del círculo limitada por dos radios y por el arco subtendido.

• Angulo central: [pic 35][pic 34]

• Angulo inscrito: [pic 36]

• Longitud de la circunferencia:

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r: radio[pic 38]

d: diámetro

• Longitud del arco:

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α: Medida angular del arco

Polígonos

• Polígono inscrito: es aquel que sus vértices se encuentran sobre una misma circunferencia.

• Polígono circunscrito: cuando sus lados son tangentes a una misma circunferencia.

• Polígono regular: cuando sus lados y sus ángulos son congruentes.

Propiedades

Un cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia, cuando dos de sus ángulos opuestos son suplementarios.

Áreas de regiones poligonales y circulares

Región poligonal: 

                              Es una porción del plano limitada por polígonos.

Área de una región poligonal: es la medida de la extensión de dicha región.

A continuación se da un cuadrado con las principales formulas de las figuras geométricas notables.

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