Graficando las Funciones Seno y Coseno

Graficando las Funciones Seno y Coseno

Objetivos de Aprendizaje

∙         Determinar las coordenadas de puntos en el círculo unidad.

∙         Graficar la función seno.

∙         Graficar la función coseno.

∙         Comparara las gráficas de las funciones seno y coseno.

Introducción

Sabes cómo graficar muchos tipos de funciones. Las gráficas son útiles porque pueden tomar información complicada y desplegarla de una manera fácil de leer. Aprenderás a graficar las funciones seno y coseno, y ver que las gráficas de la función seno es muy similar a la de la función coseno.

Valores de las Funciones Seno y Coseno

Hemos visto un punto (x,y) en la gráfica de una función. La primera coordenada es la entrada o valor de la variable, y la segunda coordenada es la salida o valor de la función.

Cada punto en la gráfica de la función seno tendrá la forma [pic 1], y cada punto en la gráfica de la función coseno tendrá la forma [pic 2]. Se acostumbra usar la letra Griega teta, [pic 3], como el símbolo para el ángulo. Graficar puntos de la forma [pic 4] es igual que graficar puntos en la forma (x, y). Sobre el eje-x vamos a graficar [pic 5], y sobre el eje-y vamos a graficar el valor de [pic 6]. Las gráficas que dibujaremos usarán los valores de [pic 7] en radianes. Antes de dibujarlas, sería útil encontrar algunos valores de[pic 8] y [pic 9], y luego reunirlos en una tabla.

Revisemos las definiciones generales de éstas funciones. Dado un ángulo [pic 10], dibujarlo en la posición estándar junto con un círculo unidad. El lado terminal intersectará el círculo en algún punto [pic 11], como se muestra abajo.

[pic 12]

El valor de [pic 13] ha sido definido como la coordenada-x de éste punto, y el valor de [pic 14] ha sido definido como la coordenada-y de éste punto.

Puedes seguir un procedimiento similar para encontrar los valores de [pic 29] y [pic 30] para [pic 31]. Los cuatro ángulos tienen un ángulo de referencia de [pic 32] radianes o 45°.

[pic 33]

Usando el hecho de que [pic 34] te da las coordenadas del punto en el primer cuadrante. Como los otros puntos son reflexiones de éste, las coordenadas tienen valores iguales u opuestos.

El diagrama siguiente puede usarse para encontrar los valores de [pic 35] y [pic 36] para [pic 37]. Observa que como [pic 38], cuando dibujas el ángulo [pic 39] en la posición estándar, quedas de regreso en el eje-x. [pic 40]radianes o [pic 41]corresponden al mismo punto igual que 0 radianes, que es [pic 42].

[pic 43]

Usando las coordenadas de los cuatro puntos, tenemos:

[pic 44]

Para familiarizarnos con las coordenadas de los puntos en el círculo unidad, intenta seguir el siguiente ejercicio interactivo:

La Gráfica de la Función Seno

Nuestro objetivo ahora es graficar la función [pic 45]. Cada punto en ésta gráfica tendrá la forma [pic 46] con los valores de [pic 47] en radianes. El primer paso es colectar en una tabla todos los valores de [pic 48] que conozcas. Para empezar vamos a usar los valores de θ entre 0° y 180° [pic 49].

Cuando graficamos funciones, normalmente decimos que graficamos en un intervalo. Usamos la notación de intervalo para describirlo. La notación de intervalo tiene la forma [pic 77], que significa que el intervalo comienza en a y termina en b. En el ejemplo, la notación [pic 78] tiene el mismo significado que [pic 79].

Observa que nuestra entrada es [pic 86], la medida del ángulo en radianes, y que el eje horizontal está etiquetado como [pic 87], no x. Ahora vamos a colectar todos los valores de [pic 88] que conoces para [pic 89] en una tabla.

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