Grupos y subgrupos

ACTIVIDAD 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS

Estimados Alumnos

Lo primero que quiero decir, es que no quiero que copien información de otros sitios, pueden leer lo que quieran y en donde quieran, pero no copien y peguen porque de nada sirve.

Les acabo de mandar un material por correo, este es el que vamos a utilizar, es más que suficiente para poder conocer la materia.

Después de leer de las páginas 18 a 21, explique:

1.- ¿Qué es un grupo?

Es cuando dentro de un monoide se consideran los elementos invertibles, se obtiene una estructura, más cómoda para operar. Podemos decir que un grupo es una estructura algebraica asociativa, que posee neutro y cada elemento tiene su inverso.

2.- De un ejemplo de algo que es grupo y diga porque es un grupo.

Si n∈N, definimos el conjunto C_n≝{e^(2kn/n i)│k∈Z}∁C*.

Vamos a demostrar que C_n es cerrado bajo la multiplicación de números complejos ya que:

e^(2kn/n i) e^(2hn/n i)=e^((2(k+n))/n i)∈C_n

Sabemos que 1=e^((2*0*n)/n i)∈C_n y 1 es el elemento identidad en C_n. Para cada e^((2(k+n))/n i)∈C_n el numero complejo e^((2(-k)n)/n i)∈C_n y tiene la propiedad de que:

e^(2kn/n i) e^(2(-k)n/n i)=e^((2*0*n)/n i)=1=e^(2(-k)n/n i) e^(2kn/n i)

La asociatividad se hereda de C* y asi, vemos que C_n es un grupo.

3.- De un ejemplo de algo que no es grupo y diga porque no es.

Sea O(n)≝{A∈GL_n (R)│A^T a=Id} vamos a demostrar que no es un grupo. Muestre que O(n)<GL_n (R)

Claramente Id∈O(n) ya que (〖Id)〗^T Id=〖Id〗^2=Id Sean A,B∈O(n), entonces:

(AB)^T (AB)=(B^T A^T )(AB)=(B^T (A^T A))B=B^T B=Id

Por que AB∈O(n ). Para cada A∈O(n) sabemos que A^T=A^(-1) y asi, ((A)^(-1) )^T A^(-1)=(AT)^T A^T=(AA^T )^T=(AA^(-1) )^T=〖Id〗^T=Id, es decir A^(-1)∈O(n). Por lo tanto,O(n)≤GL_n (R)

Y concluimos que esta demostración nos es grupo, ya que O(n)≤GL_n (R) es un subgrupo.

4.- Los números naturales N={0,1,2,…}, con la operación a+b=min{a,b}, ¿es un grupo?, ¿por qué?

Si es un grupo porque los numero naturales forman un grupo abeliano con la adición, al igual que los reales no nulos con la multiplicación.

...