HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Históricamente, la integración antecedió a la diferenciación por casi 2 mil años. El antiguo método griego de exhaución y las medidas infinitesimales de Arquímedes representan ejemplos antiguos de procesos límites de sumas de integrales, pero no fue hasta el siglo XVII que Fermat, encontró las tangentes y los puntos críticos por métodos equivalentes a la evaluación de cocientes incrementales. Él descubrió la naturaleza inversa de estos dos procesos, junto con la consecuente explicación de la antiderivación en la determinación límite de sumas.. La diferenciación, tanto inversa como directa, convirtió el algoritmo básico en una nueva y poderosa parte de la Matemática. La integración fue tomada como “la memoria de la derivación” y no fue hasta 150 años más tarde, que la atención se dirigió directamente al concepto de sumación en el cálculo.

El Calculus apareció impreso, por primera vez, en una memoria de seis páginas de Leibniz (1646-1716) en el Acta Eruditorium de 1684, que contenía una definición de la diferencial y donde dio pequeñas reglas para su calculo en sumas, productos, cocientes, potencias y raíces. Él incluyó también pequeñas aplicaciones a problemas de tangentes y puntos críticos.

El término aequatio differentialis, fue primeramente usado por Leibniz ( en un sentido bastante restringido) en 1676 para denotar una relación entre las diferenciales dx y dy y dos variables x e y, concepción que se conserva hasta los tiempos de Euler ( en los años 1768 – 1770). Así mismo, es importante destacar que las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias surgen prácticamente con la aparición del Calculus, en la célebre polémica Newton-Leibniz se tiene cuando Newton le comunica a Leibniz “Es útil resolver ecuaciones diferenciales” y curiosamente el 11 de Noviembre de 1675 Leibniz escribió la ecuación ∫▒〖ydy 〗= y^2/2, no la resolvió, pero el signo de integral apareció. Cabe mencionar que tanto Newton coma Leibniz, elaboraban sus conceptualizaciones matemáticas en términos de entes geométricos en los que se representan las propiedades y conceptos. Esto era una consecuencia de lo restringido que se encontraba el concepto de función en el siglo XVII. La noción de función permanecía aún ligada a la idea de curva geométrica. En este sentido, obviamente el concepto de tangente era euclidiano. En Leibniz hay un elemento diferente aunque ambiguo, de concebir la recta tangente como aquella que una dos puntos infinitamente próximos.

En la última década del siglo XVII, los hermanos Bernoulli (James y Johan) introducen términos como el de “integral” una ecuación diferencial, así como el proceso de “separación de variables” (separatio indeterminatarum) de una ecuación diferencial.

Alrededor de 1692, Johan Bernoulli I (1667-1748)

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