Historia De Ecuaciones Diferenciales

HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial a finales del siglo XVII llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas, a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales se convirtieron en una rama independiente y su resolución un fin en sí mismo. Ya Newton (los creadores del calculo infinitesimal fueron Leibniz y Newton)observo que si dny/dxn = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n í 1, en particular, y depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para poder ser demostrada con rigor (la demostración estándar actual usa el teorema del valor medio). Los matemáticos de la época con frecuencia usaban argumentos físicos: si y(t) denota la posición en el tiempo t de una partícula, entonces dy/dt es su velocidad. Si dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es decir, la partícula no se mueve y su posición, por tanto, permanece constante. En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismo año, Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del triangulo característico. En 1690, Jacques Bernouilli planteo el problema de encontrar la curva que adopta una cuerda flexible, inextensible y colgada de dos puntos fijos, que Leibniz llamó catenaria (dellatín cadena). Galileo pensó que esta curva era una parábola, mientras que Huygens probó que esto no era correcto. En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli publicaron soluciones independientes. La de Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente en los textos de mecánica: Consideremos un cable homogéneo sujeto por sus dos extremos (que suponemos a la misma altura) y que distan 2a uno del otro y sea  la densidad del cable. Sea y =y(x) la función que describe la posición del cable. Por conveniencia se asumirá que la altura mínima del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras, y0(0) = 0).La segunda etapa (1728) de la historia de las ecuaciones diferenciales estuvo dominada por Leonard Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones de orden inferior, el concepto de factor integrante, la teoría de las ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso del método de series de potencias entre otras cosas. La etapa siguiente (1820) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajes importantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857);los problemas de existencia y unicidad de las solución cobraron importancia.

Historia de las ecuaciones diferenciales

Una ecuación es una igualdad condicional que se cumple sólo para las soluciones de la misma. Así, en una ecuación algebraica como x – 2 = 0, la igualdad sólo se cumple para x = 2.

En forma similar, una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f’(x), la solución será la función exponencial “e elevado a la x”, ya que es la única función cuya derivada es igual a la función misma.

Matemáticos que hicieron aportes a la Teoría de las Ecuaciones Diferenciales

Niels Abel

El matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) hizo aportes en ecuaciones integrales, funciones elípticas, álgebra (probó que las ecuaciones polinómicas de quinto grado no tienen soluciones exactas. Identidad de Abel

Daniel Bernoulli

El suizo Daniel Bernoulli (1700-1792) hace aportes en dinámica de fluidos (principio de Bernoulli), probabilidad, mecánica (incluyendo el problema de la cuerda vibrante).

Jacques Bernoulli

Jacques Bernoulli (1654-1705), suizo, hace aportes a la mecánica, geometría, astronomía, probabilidad, cálculo de variaciones y problemas de la braquistócrona. La ecuación de Bernoulli fue propuesta por él en 1695 pero resuelta independientemente por Leibniz y su hermano Jean. Cadena colgante (catenaria)

Jean Bernoulli

Jean Bernoulli (1667-1748), matemático suizo, resuelve problemas de trayectorias ortogonales en 1698, mecánica, problema tautócrono; propuso y resolvió el problema de la baquistrócona (también resuelto por su hermano Jacques). Introdujo la idea del factor integrante.

Friedrich Bessel

Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), alemán, hace aportes en astronomía, calculó la órbita del cometa Halley; introdujo las funciones de Bessel y en 1817 estudió el trabajo de Kepler.

Augustin Cauchy

El francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) hace aportes en cálculo de probabilidades, cálculo de variaciones, óptica, astronomía, mecánica, elasticidad, análisis matemático. Creó la teoría de variable compleja (1820) y aplicó su teoría a las ecuaciones diferenciales.

Pafnuti Chebyshev

El ruso Pafnuti Liwovich Chebyshev (1821-1894) trabaja en teoría de números (números primos), probabilidad, funciones ortogonales, polinomios de Chebyshev.

Alexis Clairaut

El francés Alexis Claude Clairaut (1713-1765) hace aportes a la geometría, establece la ecuación de Clairaut y soluciones singulares (1734), astronomía, el problema de los 3 cuerpos, calculó con precisión (1759) el perihelio del cometa Halley.

Jean D’Alembert

El francés Jean le Rond D’Alembert (1717-1783) hace aportes a la mecánica incluyendo el problema de la cuerda vibrante. Dinámica de fluidos, ecuaciones diferenciales parciales.

Peter Dirchlet

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), alemán, hace aportes en teoría de números, mecánica de fluidos, análisis matemático; estableció condiciones para la convergencia de las series de Fourier.

Leonhard Euler

Leonhard Euler (1707-1783), suizo, fue el más prolífico de los matemáticos del siglo XVIII a pesar de sus impedimentos físicos (perdió un ojo en 1735 y quedó totalmente ciego en 1768), hace aportes a la mecánica, análisis matemático, teoría de números, geometría, dinámica de fluidos, astronomía, óptica, desarrolló (1739) la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales, identidades de Euler, inventó la función gamma.

Joseph Fourier

El francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) descubre las series de

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