III EXAMEN DE ESTADÍSTICA 1

“AÑO DEL BUEN SERVICIO AL CIUDADANO”

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS

[pic 1]

III EXAMEN PARCIAL DE ESTADISTICA I (ES241)

TRABAJO ENCARGADO N° 6

ASIGNATURA        :         ESTADÍSTICA - ES241

ALUMNO                :        

DOCENTE                :         TAPIA CALDERON, Guillermo Bernardino

AYACUCHO – PERÚ

2017

I) TEORIA DE  PROBABILIDAD

Demuestre  que se cumplen estas propiedades  en un espacio de probabilidad.

I  TEORIA  DE PROBABILIDAD Demuestre  que se cumplen estas propiedades  en un espacio de probabilidad.

I-1 Probabilidad de un  evento  vacío: si φ es un  evento  vacío, entonces  la  probabilidad  de ocurrencia de φ es cero , p (φ) = 0.

Demostración: A es un evento diferente del vacío de Ω, la unión de A y el vacío es el mismo evento A y es excluyente ambos (el intercepto  es el vacío) entonces:

p (AU φ) = p (A) + p (φ); por el axioma (3)

Por otro lado AU φ    = A,

Implica que p (AU φ) = p (A)

de ambos resultados  que p (φ) = 0

I-2 Teorema  de la adición (de eventos que no son excluyentes):

p (AU B) = p (A) + p (B) − p (A ∩ B)

p (A ∪ B) = p (A) + p (B) − p (A ∩ B)

Demostración: la unión de A y B se expresa en términos  de otros conjuntos  mutuamente excluyentes y luego se aplica la propiedad  (3)

A ∪ B     = B ∪ A ∩ BC  

p (A ∪ B) = p (B) + P   A ∩ BC   ...(I )

por otro lado se pude observar, según el grafico que el evento A puede ser expresado como:

A = (A ∩ B) ∪  A ∩ BC    (la unión de dos excluyentes) por el axioma (3) se tiene:

p (A) = p (A ∩ B) + p  A ∩ BC  

p  A ∩ BC    = p (A) − p (A ∩ B) ....(I I ) (I I )    en    (I )

p (A ∪ B) = p (B) + p (A) − p (A ∩ B) l.q.q.d.

I-3 Teorema  de la adicion (eventos mutuamente excluyentes):

p(A ∪ B)  = p(A) + p(B)  no es necesario  demostrar  el axioma  (3)  es el mismo que el teorema  (3).

I-4 Para  tres eventos cuales quiera A,B y C se cumple (de eventos que no son mutuamente excluyentes): p(A ∪ B ∪ C ) = p(A) + p(B) + p(C ) − P (A ∩ C ) − P (B ∩ C ) + P (A ∩ B ∩ C ) Este         teorema    es   una    extensión    del   teorema    3.

I-5 Si A es un evento y Ac  es un evento complementario,  entonces: p(Ac) = 1 − p(A) Demostración :    El    espacio    muestras   Ω   puede    ser    escrito    como   la    unión de         estos    eventos    Ω = Ac ∪ A,    así

p(Ω) = P (AcU A) = P (Ac) + P (A) por la propiedad  (3) según el axioma (2),

p(Ω) = 1, resulta:  P (Ac) + P (A) = 1

Así:    P (Ac) = 1 − P (A)

I-6 Teorema  de la probabilidad total: P (D) = P P (Ai ) ∗ P (B/Ai )

Demostración: sea por hipótesis tenemos una partición A1, A2 , A3 , ....An del espacio mues-

tral  Ω   . Por lo tanto  el suceso de B se puede escribir como:

B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2 ) ∪ ... (B ∩ An )

Ahora bien, los conjuntos  B ∩ Ai  son dos a dos disjuntos,  ya que en caso contrario  los Ai

Tampoco  lo serian. En consecuencia

P (B) = P (B ∩ A1) + P (B ∩ A2) + ...P (B ∩ An )

Por ultimo  sabemos que P (C ∩ D)  = P (C/D) P (D)  para  cualesquiera  sucesos C y D

luego

P (B) = P (B/A1 ) P (A1) + P (B/A2) P (A2) + ...P (B/An ) P (An )

P (B) = P P (B/Ai ) P (Ai ) l.q.q.d.

I-7 Teorema  de Bayes:

 P (Ak )∗P (B/Ak )[pic 2]

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