Integración por sustitución de una nueva variable; racionalización
Enviado por WilliamEste • 19 de Agosto de 2023 • Trabajos • 1.069 Palabras (5 Páginas) • 35 Visitas
1.14 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN DE UNA NUEVA VARIABLE; RACIONALIZACIÓN
En este capítulo vamos a estudiar la manera de integrar las funciones algebraicas no racionales, es decir, las que contiene radicales o exponentes fraccionarios, las mismas que no se pueden integrar en términos de funciones elementales, salvo unas pocas, hablando relativamente. Sin embargo, en algunos casos, sustituyendo por una nueva variable, estas funciones pueden transformarse en funciones equivalentes que son racionales o se encuentran en la lista de integrales inmediatas (fórmulas).
El método de integrar una función no racional, reemplazando la variable original por una nueva variable, se llama a veces integración por racionalización. A continuación, vamos a tratar los casos más importantes de este capítulo.
CASO I. Diferenciales que contienen sólo potencias fraccionarias de .[pic 1]
Una expresión que contienen sólo potencias fraccionarias de , puede transformarse en forma racional mediante la sustitución o aplicando el artificio siendo el menor denominador común de los exponentes fraccionarios de Vale indicar, que el radical o exponente fraccionario para este caso, se encuentra en un término que es un Monomio. [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]
En efecto, y cada radical pueden entonces expresarse racionalmente en términos de [pic 6][pic 7]
EJERCICIOS.
- Demostrar que[pic 8]
(M) [pic 9]
Solución:
Se emplea el artificio , los denominadores de los exponentes de la variable son 2 y 4, los denominadores comunes que contiene a 2 y 4 son, 4, 8, 12, 16, etc., como el menor es el 4, entonces , y el artificio quedará:[pic 10][pic 11][pic 12]
(1).[pic 13]
Del artificio (1) se determina el valor de , y [pic 14][pic 15][pic 16]
; [pic 17][pic 18]
[pic 19]
Si, entonces, [pic 20][pic 21]
Reemplazo los nuevos valores en f(z) en el integral original de (M).
(N)[pic 22]
como el exponente del numerador es mayor que el del denominador, se divide
꞉ [pic 23][pic 24]
- R/. de la división, en (N)[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]
[pic 29][pic 30]
[pic 31]
= analizamos las integrales[pic 32]
La primera, según 4, =, d son iguales se aplica fórmula[pic 33][pic 34]
La segunda, según 5, =; falta el 3 en d ejercicio [pic 35][pic 36]
[pic 37]
(P) [pic 38]
transformar z en x, usamos el artificio (1), y a la integral le damos su valor original
;; entonces, en (P)[pic 39][pic 40][pic 41]
L. q. q. d. [pic 42]
CASO II. Diferenciales que contienen sólo potencias fraccionarias de, [pic 43]
Una expresión que contienen sólo potencias fraccionarias de , puede transformarse en forma racional mediante la sustitución o aplicando el artificio[pic 44]
siendo el menor denominador común de los exponentes fraccionarios de [pic 45][pic 46][pic 47]
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