FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES E INTEGRACION DOBLE

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA[pic 1]

      FACULTAD DE INGENIERÍA

 ESCUELA PROFESIONAL DE  INGENIERIA ELECTRONICA      ESCUELA PROFESIONA INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

                                                 SESION 1

MATEMATICA III

     UNIDAD II

FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES

E INTEGRACION DOBLE

        SESION 1

FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES

Una  función : D   se llama una función vectorial de varias variables. Si  campo vectorial.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Una función vectorial f: D   se puede estudiar de forma natural por medio de campos escalares. [pic 6][pic 7]

                      : D  [pic 8][pic 9][pic 10]

Ejemplo 1: La función  definida por (x, y) = (x+4, y+5) es una función vectorial de 2 variables. [pic 11][pic 12]

Ejemplo 2: (t) = (  (En forma paramétrica)[pic 13][pic 14]

De estos ejemplos podemos decir que una función vectorial no es más que un vector de m funciones escalares.

                        = ()[pic 15][pic 16]

                        = [pic 17][pic 18]

LÍMITE Y CONTINUIDAD

Definición de límite

Sea : D   donde f=(  y  = ()  es el límite de  en el punto a si, y solo si: [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

  = ,  = ,……,   = [pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

 Algunas Propiedades sobre límites

Sean  y : ,  funciones vectoriales tal que =  y =[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

Entonces:

1.  =  = , donde [pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]
2.  = [pic 45][pic 46]
3.  = [pic 47][pic 48]
4.  =  = [pic 49][pic 50][pic 51]

Ejemplo 1: Calcular el  [pic 52]

Solución:

 [pic 53]

= (,  = (2, 4, 4)[pic 54][pic 55]

Ejemplo 2: Calcule , donde )[pic 56][pic 57]

 = (,),  = (9, -2, 1/3)[pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

Definición de continuidad

Dada una función :  D  ,  es continua en  si y solo si cada una de sus funciones  com ponentes  es continua en  del dominio de , si para cada   y [pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]

Ejemplo 1: La función :  definida por f(t) = (1, , es continua en todo R, por que sus funciones componentes son polinomios y los polinomios son continuas en todo R.[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]

Ejemplo 2: Sea la función :  definida por: [pic 75][pic 76]

                     = [pic 77][pic 78]

 ¿Es continua en t=0?

1° f(0) = (0, 0, 0) esto quiere decir que f esta definido en t=0

2° Estudiemos el límite de  en t=0[pic 79]

       = (, ) = (0, 0, 1)[pic 80][pic 81][pic 82]

3° Comparamos:

       Como  , afirmamos que  no es continua en t=0. [pic 83][pic 84][pic 85]

DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES VECTORIALES DE MAS DE UNA VARIABLE

Sea  una función vectorial definida por: [pic 86]

  =  + +  = ([pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91]

La derivada parcial de  con respecto de  x es: [pic 92]

         [pic 93]

La derivada parcial de  con respecto de  y es: [pic 94]

  [pic 95]

Las derivadas de parciales de orden superior se pueden definir  de esta manera.

 =  = ()            =  = ()[pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103]

 =  = ()            =  = ()[pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111]

Regla de las derivadas parciales de funciones vectoriales

Sean  funciones vectoriales diferenciables de x, y , z y  es una función escalar diferenciable de x, y, z entonces:[pic 112][pic 113]

1. ) =   [pic 114][pic 115][pic 116]
2. ) = .[pic 117][pic 118][pic 119]
3. ) =  [pic 120][pic 121][pic 122]
4. ) =   + (Mantener el orden de los factores)[pic 123][pic 124][pic 125][pic 126]

Ejemplo:

  =  + (x-y) + xseny. Calcular , , [pic 127][pic 128][pic 129][pic 130][pic 131][pic 132][pic 133]

Solución:

 = y+ + seny = (y[pic 134][pic 135][pic 136][pic 137][pic 138]

 = +xcosy = ([pic 139][pic 140][pic 141][pic 142]

 = [pic 143][pic 144]

 =(xcosy+seny)+x(seny-ycosy)-(x+y)[pic 145][pic 146][pic 147][pic 148]

Si (t) = (x(t), y(t), z(t)) [pic 149]

Entonces   ´(t) = (x´(t), y´(t), z´(t))[pic 150]

Ejemplo: (t) = (lnt, t, [pic 151][pic 152]

               ´(t) =(1/t, 1, 2t) Rpta[pic 153]

     FUNCIONES VECTORIALES DE VARIAS VARIABLES

           E INTEGRACION DOBLE

DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES VECTORIALES

Los conceptos derivable y diferenciable coinciden en funciones vectoriales. Básicamente lo que hacemos aquí es derivar componente a componente.

Sea :   una función vectorial, y sea  un punto del interior del dominio de .  Si  = () se tiene que  es derivable en  si todas sus componentes son derivables  y se da: [pic 154][pic 155][pic 156][pic 157][pic 158][pic 159][pic 160][pic 161]

 = ([pic 162][pic 163]

 Ejemplo 1: Si :  R viene dada por (t) = (, resulta que es derivable y =()  es derivable en cualquier punto t[pic 164][pic 165][pic 166][pic 167][pic 168][pic 169]

Ejemplo 2: Si :  R viene dada por (t) = () resulta que es derivable y =() . Sin embargo no es derivable en t = 0.[pic 170][pic 171][pic 172][pic 173][pic 174][pic 175]

MATRIZ JACOBIANA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Dada una función vectorial : D  ⟶, donde () son las funciones escalares componentes de  y   . Si ∃ ∇() ∀i=1,2,...,m. Definimos la matriz Jacobiana de f en el punto  ∈ D, y la representamos por Jf(), mediante la matriz m×n donde cada fila es el vector gradiente de la correspondiente función componente, es decir:[pic 176][pic 177][pic 178][pic 179][pic 180][pic 181][pic 182][pic 183][pic 184][pic 185][pic 186]

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