Introducci´on a los Sistemas de Ecuaciones Lineales
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Introducci´on a los Sistemas de Ecuaciones Lineales
Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM
21 de noviembre de 2010
´I
ndice
1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Ecuaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3. Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4. Representaci´on matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5. Soluci´on particular y general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6. Clasificaci´on de los sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7. M´etodo de soluci´on a un sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8. Manipulaci´on de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10. Operaciones elementales de rengl´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.11. Eliminaci´on matricial contra algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.12. Comentario final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. Introducci´on
En esta secci´on se introducen los conceptos b´asicos referentes a los sistemas de ecuaciones lineales. Definiremos
cu´ando una ecuaci´on es una ecuaci´on lineal y cu´ando se tiene un sistema de ecuaciones lineales. La matriz
aumentada del sistema se utilizar´a para representar convenientemente el total de la informaci´on del sistema
y se describir´a c´omo la manipulaci´on de ella equivale a la manipulaci´on del sistema de ecuaciones. Asimismo,
se introducir´a la idea de la estrategia de eliminaci´on gaussiana para resolver un sistema de ecuaciones basado
ciertas operaciones llamadas operaciones elementales.
1.2. Ecuaci´on lineal
Definici´on 1.1
Una ecuaci´on lineal con n variables x1, x2, . . . , xn es una igualdad matem´atica que puede escribirse en la forma:
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b (1)
Los ai se conocen como los coeficientes de la ecuaci´on, y a b se le llama el t´ermino constante. Las variables
o inc´ognitas xi representan cantidades desconocidas que se desean determinar. Si el valor de b es cero, se dice
que la ecuaci´on es una ecuaci´on homog´enea. Dada la ecuaci´on (1), a la nueva ecuaci´on
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0 (2)
se le conoce como la ecuaci´on homog´enea asociada. Es com´un convenir en un ordenamiento de las inc´ognitas
xi; de acuerdo a ese orden, a la primera de ellas que no tenga coeficente cero se le llamar´a variable delantera,
mientras que las restantes se les llamar´an variables libres. Cuando una ecuaci´on aparece descrita como en
(1) se dice que la ecuaci´on est´a en su forma can´onica. Note que en la forma can´onica todas las variables se
encuentran en el primer miembro, mientras que los t´erminos donde ellas no aparecen quedan en el segundo.
Ejemplo 1.1
Indique cu´ales opciones contienen ecuaciones lineales:
1. −x − y = −4 − 2 x − 3 y
2. x + √2 y = 2w + 4 z
3. 5 x y + 5 z = −1 + w
4. x + 5 y + z = 5
x
5. −x − 4 y4 = z
6. 5 x + y + 5 z = 1 + 5 y
7. cos (x) + 2 y − 3 z = 1
8. 5√x + y + z = 1
Soluci´on
S´olamente las opciones 1, 2 y 6 contiene ecuaciones lineales. Los t´erminos resaltados impiden que pueda llevarse
a la forma can´onica
Ejemplo 1.2
Indique cu´ales opciones contienen ecuaciones lineales y homog´eneas:
1. x + y + z = 1 − 4 y
2. x = w − 2 y2
3. −2 x − 3 y = 5 − 4 x − 9 y
4. x + y = w + z
5. −3 − 4 x = −3 − 3 x + 5 y
6. x + x y + z = 0
Soluci´on
S´olamente las opciones 4 y 5 contiene ecuaciones lineales homog´eneas. 2 y 6 no son lineales. 1 y 3 son lineales
pero no homog´eneas
1.3. Sistema de ecuaciones lineales
Definici´on 1.2
Un sistema de ecuaciones simult´aneas, o tambi´en llamado un sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones
lineales. El problema de resolver tal sistema consiste en encontrar las soluciones que satisfacen simult´aneamente
todas las ecuaciones del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que puede ser
escrito en la forma:
...