LA ECUACION DE ONDA DE SCHRÖDINGER

LA ECUACION DE ONDA DE SCHRÖDINGER

El desarrollo de la física cuántica a introducido nuevas formas de comprender los fenómenos que rodean el comportamiento de las partículas elementales. Se ha visto que las ondas electromagnéticas poseen cualidades de partículas energéticas, así como los electrones poseen propiedades de ondas, es decir, es posible asignarles una frecuencia angular y una contante de movimiento determinada, pero además es imposible establecer un punto exacto del espacio donde se encuentra la partícula. La fusión definitiva que cuantifica estas ideas, a sido conseguida gracias a estudios científicos desarrollados por Erwin Schrodinger, llamádola ecuación de onda, la cual incluye en comportamiento ondulatorio de las partículas y la fusión de la probabilidad de su ubicación.

Es cierto que la búsqueda de la solución de esta ecuación es en el extremo complicada, pero para situaciones reales es de gran utilidad para establecer un estudio matemático riguroso de modelos físicos.

POSTULADOS DE LA ECUACION DE ONDA DE SCHRODINGER

1. - Cada partícula del sistema físico se describe por medio de una onda plana descrita por una funcio denotada por Y(x, y, z, t); esta función y sus derivadas parciales son continuas, finitas y de valores simples.

2. - Las cantidades clásicas de la energía (E) y del momentum (P), se relacionan con operadores de la mecánica cuántica definida de la siguiente manera.

3. - La probabilidad de encontrar una partícula con la función de onda en el espacio viene dada por:

Donde  *(x, y, z, t) es la conjugada compleja de  (x, y, z, t) y se cumple que

 (x, y, z, t)  *(x, y, z, t) = |  (x, y, z, t)|².

DETERMINACIÓN DE LA ECUACION DE SCHRODINGER

La energía total de la partícula se expresa como:

E = Ep + Ec

donde Ep es la energía potencial y Ec es la energía cinética:

Utilizando los operadores cuánticos para Ep constante:

Multiplicando por la función de onda  (r, t) obtenemos la función de Schrödinger en el espacio r:

Para ampliar este resultado se emplea el operador de Laplace:

Obteniendo la Ecuación General de Schrödinger:

DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN:

Aplicando el artificio del producto A = B. C, se puede decir lo siguiente:

 (x,t) =  (x) f(t)

 (x) : Depende del espacio.

f(t): Depende del tiempo.

Por lo tanto:

agrupando los elementos que dependen del tiempo en el miembro de la izquierda de la igualdad y los que dependen del espacio en el otro miembro se obtiene:

C0 = C0

Co es una constante independiente.

ECUACION DE SCHRÖDINGER DEPENDIENTE DEL ESPACIO

La solucion de esta ecuación diferencial es la siguiente:

ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO

Co

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