LABORATORIO N° 01: REPRESENTACIÓN ESPACIAL DE CUERPOS RÍGIDOS

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Facultad de Ingeniería

Escuela Profesional de Ingeniería Mecatrónica

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LABORATORIO N° 01: REPRESENTACIÓN ESPACIAL DE CUERPOS RÍGIDOS

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Laboratorio de Investigación Formativa

Robótica

AUTOR(es):

Acosta Chávez Arnold Jean Pierre

Cabeza Mantilla Julio César

Llumpo Dextre José Alejandro

DOCENTE:

Ing. Alva Alcántara Josmell Henry

CICLO:

                IX

Trujillo, Perú

Abril del 2019

Resumen

En el presente laboratorio: Representación Espacial de Cuerpos Rígidos se desarrollan diversos problemas que involucran los temas expuestos y desarrollados en clase, tales como: Matrices de Rotación, Ángulos de Euler y Matrices de transformación homogénea; así mismo, algunos se llegaron a implementar en MATLAB para facilitar el cálculo operativo como hallar la inversa de algunas matrices. Finalmente, se adjunta la tarea adicional que fue dejara en la última sesión de clase: realizar tres funciones que permitan calcular las tres formas desarrolladas en clase de Ángulos de Euler.

Palabras claves: Matrices de rotación, ángulos de Euler, matrices de transformación homogénea, MATLAB.

Abstract

In the present laboratory: Spatial Representation of Rigid Bodies, several problems are developed that involve the topics exposed and developed in class, such as: Rotation Matrices, Euler Angles and Matrices of homogeneous transformation; likewise, some were implemented in MATLAB to facilitate the operative calculation as finding the inverse of some matrices. Finally, the additional task that was left in the last class session is attached: perform three functions that allow us to calculate the three forms developed in the Euler Angles class.

Keywords: Rotational matrices, Euler angles, homogenous transformation matrices, MATLAB.

Índice General

Capítulo 1: Introducción        2

Capítulo 2: Objetivos        3

Capítulo 3: Desarrollo        4

1era PARTE: PROGRAMACIÓN        4

FUNCIÓN ‘rotx’:        4

FUNCIÓN ‘roty’:        4

FUNCIÓN ‘rotz’:        5

2da PARTE: DESARROLLO DE EJERCICIOS        5

EJERCICIO 1:        5

EJERCICIO 2:        7

EJERCICIO 3:        10

EJERCICIO 4:        11

EJERCICIO 5:        12

EJERCICIO 6:        13

EJERCICIO 7:        14

EJERCICIO 8:        17

Capítulo 4: Conclusiones        21

Referencias Bibliográficas        22

ANEXOS        23

ANEXO 1: Código en MATLAB de la función del ángulo de Euler ZXZ        23

ANEXO 2: Código en MATLAB de la función del ángulo de Euler ZYZ        23

ANEXO 3: Código en MATLAB de la función del ángulo de Euler Roll, Pitch y Yaw        23

ANEXO 4: Resultados de las tres funciones de ángulos de Euler        24

        Índice de Figuras        

Figura 1. Resultados de MATLAB del producto interno entre MT y M        6

Figura 2. De izquierda a derecha: 1° Sistemas de referencia inicialmente coincidente. 2°Sistema de referencia OUVW rotado respecto a OXYZ        7

Figura 3. De izquierda a derecha: 1° Sistemas inicialmente. 2° Rotar -90° en el eje Z. 3° Rotar -90° en el eje Y        8

Figura 4. De izquierda a derecha: 1° Sistemas inicialmente. 2° Rotar -90° en el eje Y. 3° Rotar 90° en el eje X        9

Figura 5. De izquierda a derecha: 1° Sistemas inicialmente. 2°Rotar 90° en el eje X. 3° Rotar -90° en el eje Z        10

Figura 6. Gráfico de referencia para el ejercicio 7        14

Figura 7. Gráfico de referencia para el ejercicio 8        17

Capítulo 1:
Introducción

Al transcurso de la historia, el hombre a empleado las matemáticas para entender su entorno; pues estas, describen y comprenden con gran precisión los fenómenos naturales. Las matemáticas son una herramienta muy potente cuando se sabe aplicar con análisis y criterio.

En el área de la robótica representan la herramienta fundamental para análisis, diseño y construcción de robots, ya que permiten especificar la posición y orientación en el espacio de piezas, herramientas y, en general, de cualquier objeto. En otras palabras, las matemáticas son esenciales en la elaboración del modelo dinámico que permite estudiar todos los fenómenos físicos presentes en el sistema mecánico del robot manipulador.

En este laboratorio se estudia las herramientas matemáticas que nos permitirán especificar la posición y orientación en el espacio. Algunos de estas herramientas son: matriz de rotación, composición de rotación, ángulos de Euler (en específico: ZXZ, ZYZ, Roll-Pitch-Yaw) y la matriz de transformación homogénea (M.T.H.). Esta última es necesaria para la representación conjunta de posición y orientación.

El desarrollo de este laboratorio marca un precedente en el desarrollo del curso, ya que posteriormente se aplicarán los conceptos expuestos aquí, lo cual permitirá el desarrollo eficiente y competente del área de la robótica.

Capítulo 2:
Objetivos

General:

Aplicación de la teoría expuesta en clase en los ejercicios planteados del laboratorio.

Específicos:

1° Realizar el ejercicio de programación planteado inicialmente sobre las funciones que permitan obtener las matrices de rotación canónicas alrededor del eje x, y, z.

2° Desarrollar los ocho ejercicios restantes aplicando la teoría expuesta y revisando en la bibliografía sugerida.

3° Adjuntar en Anexos la tarea adicional que se dejó en clases acerca de las funciones de ángulos de Euler.

Capítulo 3:
Desarrollo

1era PARTE: PROGRAMACIÓN

Escribir 3 funciones en MATLAB llamadas rotx, roty, rotz que permitan obtener las matrices de rotación canónicas alrededor del eje x, y, z, respectivamente. La entrada a cada función debe ser un ángulo y la salida debe ser la respectiva matriz de rotación. Presentar los tres archivos .m en un archivo comprimido (zip).

FUNCIÓN ‘rotx’:

Esta función nos permitirá, mediante un ángulo de entrada ‘alfa’, arrojar como resultado la matriz de rotación respectiva correspondiente al ángulo de giro ‘alfa’ respecto al eje X. Según la teoría la matriz de rotación respecto al eje X girando ‘alfa’ grados es:

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Por lo que, la función realizada en MATLAB es la siguiente:

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FUNCIÓN ‘roty’:

Esta función nos permitirá, mediante un ángulo de entrada ‘beta’, arrojar como resultado la matriz de rotación respectiva correspondiente al ángulo de giro ‘beta’ respecto al eje Y. Según la teoría la matriz de rotación respecto al eje Y girando ‘beta’ grados es:

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Por lo que, la función realizada en MATLAB es la siguiente:

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FUNCIÓN ‘rotz’:

Esta función nos permitirá, mediante un ángulo de entrada ‘theta’, arrojar como resultado la matriz de rotación respectiva correspondiente al ángulo de giro ‘theta’ respecto al eje Z. Según la teoría la matriz de rotación respecto al eje Z girando ‘theta’ grados es:

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Por lo que, la función realizada en MATLAB es la siguiente:

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2da PARTE: DESARROLLO DE EJERCICIOS

EJERCICIO 1:

Dada la matriz M de 3x3:

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Determinar si constituye una matriz de rotación (considerando errores de redondeo razonables). Justificar tu respuesta.

Desarrollo:

Según la teoría estudiada, una matriz de rotación cumple con las siguientes propiedades:

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Dado esto, se hallará la inversa de la matriz M y su transpuesta para comprobar las propiedades. Para determinar la inversa y transpuesta de la matriz se empleará MATLAB para facilitar los cálculos.

Resultados:

Matriz inversa de M [pic 12]

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Matriz transpuesta de M [pic 14]

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Producto interno entre :[pic 16]

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Conclusión 1:

Comparando ambas matrices, notamos que en algunos elementos difieren en una unidad en sus diez milésimas (4to decimal) por lo que si consideramos despreciable esta variación se estaría cumpliendo con la primera propiedad.

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