LABORATORIO N° 3.1 “DESCRIPCIÓN ESPACIAL DE CUERPOS RÍGIDOS”

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Facultad de Ingeniería

Programa de Ingeniería Mecatrónica

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LABORATORIO N° 3.1

“DESCRIPCIÓN ESPACIAL DE CUERPOS RÍGIDOS”

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DESARROLLO DE GUIA DE LABORATORIO

ROBÓTICA

        ESTUDIANTE(S)        :

HIGA CALDEIRA, Joao Pedro

MARQUINA JARA, Cristian

MONTALVO SALCEDO, José Ernesto

        DOCENTE                :  

 ING. ALVA ALCANTARA, Josmell Henry

        CICLO                :

                                        VIII

Trujillo, Perú

2021

 ÍNDICE

INDICE        ii

RESUMEN        1

DESARROLLO DEL LABORATORIO        2

1.1.        Implementación de funciones en MATLAB        2

a)        S=skew(w)        2

b)        R=axisAngle2mat(axis, angle)        2

c)        R=rpy2mat(rpy)        3

d)        rpy=mat2rpy(R)        4

e)        Q=mat2quat(R):        4

f)        R=quat2mat(Q):        6

g)        Q=multQuat(Q1,Q2):        6

h)        T=rotPos2tr(R,p):        7

1.2.        EJERCICOS        8

1.3.        CONCLUSIONES        18

RESUMEN

El desarrollo del siguiente laboratorio consta de la aplicación de las herramientas matemáticas para la localización espacial con matrices de transformación homogénea en sistemas robóticos, como bien se sabe, para que estos sistemas controlables realicen tareas de manipulación es necesario que conozcan la posición y orientación de los elementos a manipular con respecto a su base, es por ello la necesidad de herramientas necesarias para especificar su localización.

Además, se vio su importancia en el desarrollo de problemas de localización espacial; para el análisis de cada ejercicio se implementó funciones programadas, para esto se hizo uso de la herramienta en lenguaje de programación Matlab, que viene a ser un programa potente en cálculos numéricos con vectores y matrices.

DESARROLLO DEL LABORATORIO

1. Implementación de funciones en MATLAB

1. S=skew(w)

Acepta como entrada un vector tridimensional w y su salida es la matriz antisimétrica S asociada.

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Figura 1. Función skew(w) en Matlab

1. R=axisAngle2mat(axis, angle)

Dados un eje (vector tridimensional) y un ángulo calcula la matriz de rotación equivalente usando la fórmula de Rodrigues.

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Figura 2. Función axisAngle2mat(axis, angle) en Matlab

1. R=rpy2mat(rpy)

Dados los ángulos roll, pitch, yaw expresados mediante un vector con 3 elementos rpy=[r, p, y], calcula la matriz de rotación R asociada.

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Figura 3. Función rpy2mat(rpy) en Matlab

1. rpy=mat2rpy(R)

Dada una matriz de rotación R, calcula los ángulos roll, pitch, yaw asociados rpy=[r, p, y], dónde los ángulos de pitch están entre −𝜋/2 𝑦 𝜋/2.

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Figura 4. Función mat2rpy(R) en Matlab

1. Q=mat2quat(R):

Convierte una matriz de rotación en un cuaternión con el formato 𝑄 = [𝑤;𝑒𝑥;𝑒𝑦;𝑒𝑧]. Nota. La función sign de MATLAB puede ser útil.

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Figura 5. Función mat2quat(R) en Matlab.

1. R=quat2mat(Q):

Convierte un cuaternión en una matriz de rotación. El formato de cada cuaternión es 𝑄 = [𝑤;𝑒𝑥;𝑒𝑦;𝑒𝑧].

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Figura 6. Función quat2mat en Matlab.

1. Q=multQuat(Q1,Q2):

Multiplica los cuaterniones 𝑄1 𝑦 𝑄2 para generar el cuaternión resultante Q. El formato de cada cuaternión es el anterior indicado.

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Figura 7. Función multQuat en Matlab.

1. T=rotPos2tr(R,p):

genera la matriz de transformación homogénea T con componentes de rotación R y componentes de posición P.

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Figura 8. Función rotPos2tr en Matlab.

1. EJERCICOS

1. La matriz R representa una rotación de 90° alrededor del eje Z’ seguida de una rotación de 45° alrededor del nuevo eje x. Encontrar el ángulo y el eje equivalente a la matriz de rotación.

SOLUCIÓN

Código en Matlab para realizar la posmultiplicación de las rotaciones:

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 Resultados del ángulo y el eje equivalente:

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1. Considerar los ángulos de Euler ZXZ dados por 𝜑1, 𝜑2, 𝜑3.

• Encontrar la matriz de rotación equivalente dados 𝜑1, 𝜑2, 𝜑3.
• Dada una matriz de rotación genérica R, obtener la expresión de cada uno de estos ángulos de Euler. Utilizar la función atan2 para el cálculo.

SOLUCIÓN

Código en Matlab de los ángulos de Euler ZXZ:

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Matriz de rotación en función de :[pic 15]

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Obtenemos los ángulos con la función mat2rpy(R) que es expresado en un vector en grados sexagesimales: [pic 17]

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1. Se tiene una rotación representa por los ángulos de Euler ZYZ con valores 𝜑1 = 𝜋 / 2, 𝜑2 = 0, 𝜑3 = 𝜋 / 4.

• Encontrar la matriz de rotación R correspondiente.
• Dicha rotación se aplica a un sistema de referencia inicial. ¿Cuál es la dirección del vector x’ del sistema resultante con respecto al sistema inicial?

SOLUCIÓN

Código en Matlab de los ángulos de Euler ZYZ:

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Matriz de rotación equivalente:

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Ángulo y dirección de vector:

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