LAS DERIVADAS CRUZADAS

DERIVADAS CRUZADAS

Teorema de Swartz:  Igualdad de las derivadas parciales

Si  z = f(x,y) es una función tal que f , [pic 1] están definidas y además las derivadas cruzadas son continuas en una región  abierta R, entonces, para cada  (x,y) ∈R se cumple que las derivadas cruzadas son iguales

[pic 2]

[pic 3][pic 4]

Veremos ahora un ejemplo en el que las derivadas cruzadas no son iguales por que la función f(x ,y) no tiene derivadas cruzadas continuas en (0,0)

Calcular las derivadas cruzadas de la siguiente función en (0,0) por definición:

                      xy .    x2   - y2                 si (x ,y)≠  (0,0)[pic 5]

                               x2   + y2

f(x,y) =

1. si (x,y) = (0,0)

Por definición de derivada parcial cruzada de segundo orden :

                                    δf (h,0)  -  δf(0,0)

   δ 2 f (0,0)  =  lim      δy              δy                          ( A )[pic 6][pic 7]

  δx δy             h→0             h

Pero como no conocemos los valores de las derivadas que aparecen en el numerador del cociente debemos calcularlas:

                                                                     h k .  h 2 – k2     -   0

δf (h,0) =  lim    f (h,k)  - f (h,0)   =  lim               h 2 + k2                    =  h[pic 8]

δy            k→0             k                   k→0                   k

δf (0,0) =  lim    f (0,k)  - f (0,0)   = lim       0   -   0     = 0[pic 9]

δy            k→0             k                  k→0         k

Reemplazando los valores obtenidos en la fórmula  (A), nos queda:

  δ 2 f (0,0)  =  lim    h  -  0   = 1[pic 10][pic 11]

δx δy              h→0     h

Proponemos al alumno que calcule la   δ 2 f (0,0) de manera similar y obtendrá como [pic 12]

                                                             δy δx

resultado el valor  - 1, demostrando así que las derivadas cruzadas no son iguales .

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