La Adolescencia

Probabilidad Y Estadística II

Tema: Investigación

INTRODUCCION

El principal objetivo de esta investigación es poder conocer los tipos de métodos de regresión lineal, ya sea con el método simple o el método del Mínimos Cuadrados.

También Conoceremos un poco del coeficiente de correlación, sus aplicaciones y usos en la estadística.

Regresión lineal

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

: Variable dependiente, explicada o regresando.

: Variables explicativas, independientes o regresores.

: Parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.

Donde es la intersección o término "constante", las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

Regresión lineal simple

Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:

(6)

Donde es el error asociado a la medición del valor y siguen los supuestos de modo que (media cero, varianza constante e igual a un y con ).

Análisis

Dado el modelo de regresión simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:

(7)

Derivando respecto a y e igualando a cero, se obtiene:

(9)

(10)

Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la siguiente solución para ambos parámetros:

(11)

(12)

La interpretación del parámetro es que un incremento en Xi de una unidad, Yi incrementará en

Regresión Lineal Mínimo Cuadrado

Es el más utilizado y fue desarrollado por Karl Gauss y la idea es producir estimadores de los parámetros que hagan mínima la suma de cuadrados de las distancias entre los valores observados Yi, y los valores .

Supuestos del método de mínimos cuadrados

1. El modelos de regresión es lineal en los parámetros

2. Los valores de x son fijos en muestreo repetido.

3. El valor medio de la perturbación es igual a cero.

4. Homocedasticidad o igual varianza de .

5. No auto correlación entre las perturbaciones

6. La covarianza y es cero.

7. El número de observaciones n debe ser mayor que el número de parámetros a estimar.

8. Variabilidad en los valores de X.

9. El modelo de regresión está correctamente especificado.

10. No hay relaciones lineales perfectas entre las variables explicativas .

Error = Y observada o real – estimada.

El método minimiza la suma de estos errores elevada al cuadrado, para evitar el valor cero que ocurre cuando se suman los errores.

Coeficiente de Correlación

En estadística, el coeficiente de correlación de Pearson es un índice que mide la relación lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de las variables.

De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas.

En el caso de que se esté estudiando dos variables aleatorias x e y sobre una población estadística; el coeficiente de correlación de Pearson se simboliza con la letra , siendo la expresión que nos permite calcularlo:

Dónde:

es la covarianza de

es la desviación típica de la variable

es la desviación típica de la variable

De manera análoga podemos calcular este coeficiente sobre un estadístico muestral, denotado como a:

Interpretación

El valor del índice de correlación varía en el intervalo [-1,1]:

Si r = 1, existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables denominada relación directa: cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en proporción constante.

Si 0 < r < 1, existe una correlación positiva.

Si r = 0, no existe relación lineal. Pero esto no necesariamente implica que las variables son independientes: pueden existir todavía relaciones no lineales entre las dos variables.

Si -1 < r < 0, existe una correlación negativa.

Si r = -1, existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables llamada relación inversa: cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye en proporción constante.

El coeficiente de correlación lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de ambas variables.

El coeficiente de correlación lineal se expresa mediante la letra r.

Propiedades del coeficiente de correlación

1. El coeficiente de correlación no varía al hacerlo la escala de medición. Es decir, si expresamos la altura en metros o en centímetros el coeficiente de correlación no varía. 2. El signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de la covarianza.

*Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.

*Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa.

*Si la covarianza es nula, no existe correlación.

3. El coeficiente de correlación lineal es un número real comprendido entre −1 y 1.

−1 ≤ r ≤ 1

4. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a −1 la correlación es fuerte e inversa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime r a −1.

5. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 1 la correlación es fuerte y directa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime r a 1.

6. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 0, la correlación es débil.

7. Si r = 1 ó −1, los puntos de la nube están sobre la recta creciente o decreciente. Entre ambas variables hay dependencia funcional.

CONCLUSIÓN

Tras una intensa investigación y aprendizaje sobre el uso de los diferentes métodos de la regresión lineal ya sea con el Método Simple o el Método del Mínimo Cuadrado, al igual que el uso del coeficiente de Correlación y la forma más sencilla de aplicarlo en la estadística.

Los ejercicios resueltos nos han ayudado a practicar y aprender paso a paso como usarlos y resolver problemas de cada uno de ellos.

Bibliografías

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http://html.rincondelvago.com

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http://laroussejunior.com

http://enciclopediamestro.com

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