La Circunferencia

La Circunferencia

Una circunferencia es un conjunto de puntos sobre un plano equidistantes de otro punto fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Elementos de la circunferencia

Centro.- el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.

Radio.- el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

Diámetro.- el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro

Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros

Recta secante.- la que corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangente.- la que toca a la circunferencia en un sólo punto.

Punto de tangencia.- el de contacto de la tangente con la circunferencia.

Arco.- el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Ecuaciones De La Circunferencia

Si denominamos por (h, k) a las coordenadas del centro y “r” al radio o distancia constante de acuerdo a la definición dada de la circunferencia, como lugar geométrico, debe cumplirse que:

CP = r Pero:

CP = Por lo tanto:

r = Si elevamos al cuadrado tenemos:

r 2 = ( x – h )2 + ( y – k )2

Ecuación que la denominamos: Forma Ordinaria, donde tenemos de centro el punto h y k.

Para cuando el centro de la circunferencia se encuentre en el origen de coordenadas h = k = 0, y la ecuación se transforma en:

( x – h )2 + ( y – k )2 = r 2 Ecuación en la forma ordinaria

( x – 0 )2 + ( y – 0 )2 Remplazando h y k

x 2 + y 2 = r 2

Ecuación a la que denominamos como: Forma Canónica.

Forma General de la ecuación de la Circunferencia:

Para obtener la forma general de la ecuación de la Circunferencia solo tenemos que desarrollar la ecuación de la forma ordinaria:

( x – h )2 + ( y – k )2 = r 2 Desarrollando:

x 2 - 2hx + h 2 + y 2 - 2ky + k 2 = r 2 Ordenando:

x 2 + y 2 - 2hx - 2ky + h 2 + k 2 - r 2 = 0 Lo cual puede escribirse en la forma:

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 En donde:

D = - 2h ; E = - 2k ; F = h 2 + k 2 - r 2

Comprobemos ahora si toda ecuación escrita de esta forma representa una Circunferencia; para esto agrupamos los términos que contienen la variable x y los que contienen la variable y , y completamos lo cuadrados en los términos agrupados.

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

x 2 + y 2 + Dx + Ey = - F Agrupando las x y las y tenemos:

( x2 + Dx) + ( y2 + Ey ) = - F Completando los Cuadrados:

( x^2+Dx+{ 〖D/(2 ) } 〗^2 )+ (y^2+Ex+{ 〖E/(2 ) } 〗^2 ) = - F + { 〖D/(2 ) } 〗^2 + { 〖E/(2 ) } 〗^2

( x+ D/2)^2 + (y+E/2 )^2 = (D^2+ E^2 –4F)/4 Si comparamos con la Ecuación:

( x – h )2 + ( y – k )2 = r 2 De donde obtenemos que:

h = -D/2 ; k = -E/2 ; r = √(D^( 2)+ 〖E 〗^(2 )+ 4F)/2

P = (-D/2 ; -E/2 )

Como podemos observar hemos obtenido una circunferencia de centro en el punto P, formado por las variables h y k. Y de radio √(D^(

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