La Varianza De Una Muestra

¿Por qué cuando se calcula la varianza de una muestra se divide por n-1 en vez de dividir por n?

La varianza es una medida de dispersión. Entiéndase como medidas de dispersión aquellas que indican la variación de los datos alrededor de una medida de tendencia central. Mientras que las medidas de tendencia central o de ubicación sólo describen el centro de los datos, las medidas de dispersión aportan mayor información acerca de un conjunto de datos, de ahí su importancia.

Antonio Nieves Hurtado (2010), en su libro Probabilidad y estadística para la ingeniería: un enfoque moderno, establece que “las medidas de dispersión muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número si las diferentes observaciones de una variable están muy alejadas entre sí” (pág. 129).

Mientras que una medida de dispersión pequeña indica que los datos se acumulan con proximidad a la media aritmética, y por consiguiente se puede considerar representativa de los datos, por el contrario una medida de dispersión grande indica que la media no es confiable, esto lo señala Douglas A. Lind (2012) en su libro Estadística aplicada a los negocios y la economía (pág. 74).

Carlos Véliz Capuñay (2011), en su libro Estadística para la administración y los negocios, señala que “la varianza indica cómo están dispersos los datos respecto de su media” (pág. 58).

Por otro lado, Jorge Toma (2012) en su libro Estadística aplicada: primera parte, establece que “la varianza siempre es mayor o igual a cero” (pág. 144). De esto podemos deducir que la varianza será cero siempre que los datos sean todos iguales, es decir una distribución totalmente homogénea.

Una explicación más detalla nos proporciona David R. Anderson (2012) en su libro Estadística para negocios y economía, en el que señala que “la varianza es una medida de la variabilidad que utiliza todos los datos y se basa en la diferencia entre el valor de cada observación y la media” (pág. 97).

Existen dos tipos de varianza, en función de los tipos de datos que se utilicen. Si los datos pertenecen a una población, entonces se utilizará la varianza poblacional, mientras que si los datos pertenecen a una muestra, como suele suceder en los análisis estadísticos, se utilizará la varianza muestral. En cuanto a sus respectivas fórmulas, existe una ligera diferencia.

A continuación las fórmulas de ambos tipos de varianza.

Varianza poblacional

σ^2= (∑(xᵢ- μ)²)/N

Donde:

xᵢ = valor de una observación de la población.

μ = media poblacional.

N = número de observaciones de la población.

Varianza muestral

S^2= (∑(xᵢ-x ̅)²)/(n-1)

Donde:

xᵢ

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