La derivada de una función

ÍNDICE DE CONTENIDOS

Subtemas

• Conceptos de incremento y razón de cambio. La derivada de una función
• La interpretación geométrica de la derivada
• Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales
• Propiedades de la derivada
• Regla de cadena
• Fórmulas de derivación y de diferenciación
• Derivadas de orden superior y regla L’Hopital
• Derivada de funciones implícitas.

Introducción

Cuando hablamos de derivadas, nos referimos a aquellos elementos que son pieza clave en cálculo diferencial ya que proveen alternativas a la hora de resolver problemas matemáticos.

Sin embargo, hay muchas definiciones utilizadas para este concepto debido a que, a la hora de plasmarlo para ampliar el conocimiento de generaciones futuras nos adentramos en un tema muy extenso porque hay que averiguar bien su concepto y sus tipos junto con ejercicios de ejemplos; que en algunas ocasiones tienden a ser desarrollados de una forma extensa y compleja que necesitan tiempo para explicarlos adecuadamente.

Por otro lado, el concepto más utilizado para definir qué es una derivada es el siguiente:

• La derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función, así como varía la entrada de la función.

Debido a lo anterior, a una derivada también se le conoce como la anti-integral ya que logra realizar el procedimiento contrario de una integral para obtener un resultado de una función en particular.

Mientras tanto, en esta unidad llamada derivadas, llevaremos a cabo la definición de estas mismas junto con los diferentes tipos que existen como lo son las derivadas de incremento, las derivadas implícitas, las derivadas que usan la regla de la cadena las derivadas logarítmicas, algebraicas, exponenciales, etc. Sin dejar aún lado las propiedades de ellos y la forma en que se usan en cálculo diferencial junto con su respectiva importancia en la materia.

Unidad 4: Derivadas

Conceptos de incremento, razón de cambio, y derivada de una función.

Incremento

El incremento de la variable de x es el cambio de x cuando crece o decrece desde un valor x = x0 hasta un valor x = x1 en su dominio. Así ∆x = x1 - x0 y podemos escribir x1 = x0 + ∆x.

Si la variable x experimenta un incremento a partir de x = x0 (esto es si x cambia de x = x0 a x = x0 + ∆x) y una función cambia por tanto en un incremento ∆x = f (x0 + ∆x) – f(x0) a partir de y = f(x0), el cociente:

[pic 1]

Razón de cambio

El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Es decir, se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio.

Dicho de otras palabras: Se le llama razón media de cambio de la función en el intervalo x = x0 y x = x0 + ∆x.

Desarrollado de una forma matemática:

[pic 2]

Supuesto que existe el límite. Este límite se llama también razón instantánea de cambio (o simplemente, razón de cambio) de y con respecto a x en x = x0.

Al calcular una derivada es habitual suprimir el subíndice 0 y obtener la derivada de y = f(x0) con respecto a x como:

[pic 3]

La derivada de y = f(x0) con respecto a x se indica porque cualquiera de los siguientes símbolos:

[pic 4]

Derivada de una función

Es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática según cambie el valor de su variable independiente.

Se interpreta como un concepto local dentro de la definición de derivada de forma general, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un intervalo determinado siempre y cuando este mismo sea considerado para dicha independiente debido a que se torna cada vez más pequeño.

La interpretación Geométrica de la derivada

[pic 5]

Geométricamente la derivada de una función f(x) en un punto a, es la pendiente de la recta tangente a f(x) que pasa por el punto a.

Siguiendo la figura consideramos 2 puntos que son (P y Q), trazamos la recta secante entre ellos. Esta secante forma un ángulo ἀ con la horizontal. Dado que deseamos hallar la pendiente de la recta tangente, notemos que dicho valor es tg (ꞵ), donde ꞵ es el ángulo entre el eje de las x y la recta tangente.

Volviendo al ángulo ἀ, tenemos que

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