La tecnica al servicio de la patria”
Salatiel Díaz LaraTarea18 de Agosto de 2016
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[pic 1][pic 2][pic 3]
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CALCULO VECTORIAL
INTEGRALES DE SUPERFICIE
GERSON
INTEGRANTES:
ÁLVAREZ DOMÍNGUEZ ALEJANDRA CAROLINA
LOPEZ CANTÚ ANAY
RINCON FLORES MARIA ELIZABETH
DE LA CRUZ MATEO ESTEFANIA
“La tecnica al servicio de la patria”
INTRODUCCIÓN:
1.-Parametrización de una superficie en R3.
2.-Área de una superficie en R3.
3.-Definición y cálculo de una integral de superficie para una
función escalar.
4.-Definición y cálculo de una integral de superficie para una
función vectorial.
5.-Integrales de superficie orientadas.
6.-Teorema de Stokes.
7.-Teorema de Gauss.
8.-Aplicaciones
1.- PARAMETRIZACIÓN DE UNA SUPERFICIE EN R3.
Al igual que una curva enR3 puede ser parametrizada por una función σ, definida en R y cuya imagen es la representación de la curva en el espacio tridimensional. Así mismo una superficie enR3 puede ser expresada como la imagen de una función Φ definida enR2.
[pic 4]Definición:
Una superficie parametrizada es una función Φ: U⊂ R2 → R3 de la forma Φ (u,v)= (x(u,v), y(u,v) z(u,v)), tal que su imagen representa una superficie “S” en R3. Donde x(u,v), y(u,v) z(u,v) son sus componentes. La función Φ es de tipo C1, diferenciable, hasta sus derivadas continuas en su dominio U si cada una de sus componentes son tambien de tipo C1 en U.
Si se fija u en u0 y v en v0 se obtienen las rectas u= u0 y v= v0 que en R3 representan sus trayectorias Φ (u0, v)y Φ (u,v0) respectivamente , el punto (u0,v0) se proyecta como Φ(u0,vo).
[pic 5]
El punto (u0,vo) o en cualquier otro punto, se pueden trazar los vectores tangentes a cada trayectoria.
[pic 6]
Tu y Tv se llaman vectores tangentes elementales y pueden evaluarse en cualquier punto Φ(u,v).
Si hacemos el producto cruz entre los vectores tangentes elementales obtenemos:
[pic 7]
El vector Tu x Tv se denomina vector producto elemental y representa un vector normal a la superficie en cualquier punto de Φ (u,v).
Definición:
Se dice que una superficie es suave cuando no tiene picos ni pliegues; esto se reconoce matemáticamente cuando el vector producto elemental es diferente de cero; entonces el punto o los puntos donde el vector producto elementa es cero la superficie es no suave.
Ejemplo1:
Dado el cono z2= x2+y2 parametrizado en forma cilíndrica [pic 8]demostrar que ésta es una parametrización no suave del cono en el origen.
Solución:
Los vectores tangentes elementales:
[pic 9]
Entonces el vector producto elemental:
[pic 10]
Si evaluamos en punto (0,0,0), es decir cuando r=0
Tr x T θ = (0,0,0)
∴ La parametrización no es suave en el origen.
Ejemplo 2:
Probar que la parametrización usual de cualquier función escalar [pic 11]
cuya gráfica es una superficie enR3 es siempre suave.
Solución:
Parametrizamos la superficie de forma usual:
[pic 12]
los vectores tengentes elementales:
[pic 13]
Entonces el vector producto elemental:
[pic 14]
∴La parametrización usual es siempre suave.
2.- ÁREA DE UNA SUPERFICIE EN R3.
Dada una superficie “S” en R3 parametrizada por la función
Φ: [pic 15]
[pic 16]
Por simplicidad asumimos que D es un rectangulo, entonces dividimos a D en “n” celdas. Sea Rij el ij-ésimo rectángulo en la partición con vértices. (ui, vj), [pic 17]
Si se fija u en ui y v en vj se obtienen las rectas u=ui y v=vj, que en R3representan las trayectorias
[pic 18]
Para un segmento de curva muy pequeño su longitud es aproximadamente la
magnitud del vector velocidad por lo cual tendremos para cada trayectoria
[pic 19]
Tomando las expresiones anteriores en forma vectorial y considerando las
definiciones de los vectores tangentes elementales:
[pic 20]
Sea ∆S el área de la porción de la superficie “S” que es la imagen de la región Rij si ∆U y ∆V son incrementos infinitesimales, entonces ∆S puede considerarse como paralelogramo; si recordamos que el área del paralelogramo generado por dos vectores es la norma de su producto cruz, aplicando la anterior obtenemos:
[pic 21]
[pic 22]
Definición:
Dada una superficie parametrizada por la función [pic 23]de la forma [pic 24] suave en D, tal que su imagen representa una superficie “S” en R3. Entonces el área de “S” esta dada por la integral.
[pic 25]
Ejemplo 3:
Encontrar el área de la superficie de la esfera x2+y2+z2= R2
Solución:
Parametrizamos la superficie usando coordenadas esféricas:
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
3.- DEFINICIÓN Y CÁLCULO DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE PARA UNA FUNCIÓN ESCALAR
En el capítulo anterior se estudiaron las integrales de trayectoria: se tenía una función escalar continua: [pic 29]la parametrización de una trayectoria en R3 [pic 30]entonces la integral de trayectoria de f sobre σ es:
[pic 31]
Así mismo se encontrará una expresión que permita evaluar la integral de una
función escalar cuya región de integración será una superficie enR3.
Dada una función [pic 32]diferenciable y acotada en U, [pic 33]la parametrización suave de una superficie “S” en [pic 34] Dividimos a D en “n” celdas. Es decir que la superficie “S” dividida en “n” porciones. Si tomamos la ij-ésima porción de superficie cuya área está definida por ∆.Sij. Definimos el producto:
[pic 35]
Al considerar la parametrización tendremos que los puntos de la superficie se definen de la siguiente manera:
[pic 36]
Para una porción de superficie muy pequeña su área es aproximadamente:
[pic 37]
Si consideramos H como la suma de todos los [pic 38]
[pic 39]
Cuando se toma un número de particiones “n” muy grande entonces tendremos:
[pic 40]
Definición:
Sea f(x,y,z) una función escalar definida en [pic 41]diferenciable y acotada en U, [pic 42]de una superficie “S” en R3,[pic 43]se llama integral de superficie de f en S a la integral.
[pic 44]
Ejemplo 4:
Evaluar la integral [pic 45]del campo escalar [pic 46]; y S la superficie del helicoide [pic 47]
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