La tecnica al servicio de la patria”

[pic 1][pic 2][pic 3]

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CALCULO VECTORIAL

INTEGRALES DE SUPERFICIE

GERSON

INTEGRANTES:

ÁLVAREZ DOMÍNGUEZ ALEJANDRA CAROLINA

LOPEZ CANTÚ ANAY

RINCON FLORES MARIA ELIZABETH

DE LA CRUZ MATEO ESTEFANIA

                                                   “La tecnica al servicio de la patria”

INTRODUCCIÓN:

1.-Parametrización de una superficie en R3.

2.-Área de una superficie en R3.

3.-Definición y cálculo de una integral de superficie para una

función escalar.

4.-Definición y cálculo de una integral de superficie para una

función vectorial.

5.-Integrales de superficie orientadas.

6.-Teorema de Stokes.

7.-Teorema de Gauss.

8.-Aplicaciones

1.- PARAMETRIZACIÓN DE UNA SUPERFICIE EN R3.

Al igual que una curva enR3 puede ser parametrizada por una función σ, definida en R y cuya imagen es la representación de la curva en el espacio tridimensional. Así mismo una superficie enR3 puede ser expresada como la imagen de una función Φ definida enR2.

[pic 4]Definición:

Una superficie parametrizada es una función Φ:  U⊂ R2 → R3 de la forma Φ (u,v)= (x(u,v), y(u,v) z(u,v)), tal que su imagen representa  una superficie “S” en R3. Donde x(u,v), y(u,v) z(u,v) son sus componentes. La función Φ es de tipo C1, diferenciable, hasta sus derivadas continuas en su dominio U si cada una de sus  componentes  son tambien de tipo C1 en U.

Si se fija u en u0 y v en v0 se obtienen las rectas  u= u0 y v= v0  que en R3 representan sus trayectorias Φ (u0, v)y Φ (u,v0) respectivamente , el punto (u0,v0) se proyecta como Φ(u0,vo).

[pic 5]

El punto (u0,vo) o en cualquier otro punto, se pueden trazar  los vectores tangentes  a cada trayectoria.

[pic 6]

Tu y Tv se llaman vectores tangentes elementales y pueden evaluarse en cualquier punto Φ(u,v).

Si hacemos el producto cruz entre los vectores tangentes  elementales  obtenemos:

[pic 7]

El vector Tu x Tv se denomina vector producto elemental y representa un vector normal a la superficie en cualquier punto de Φ (u,v).

Definición:

Se dice que una superficie es suave cuando no tiene picos ni pliegues; esto se reconoce matemáticamente cuando el vector producto elemental es diferente de cero; entonces el punto o los puntos donde el vector producto elementa es cero la superficie es no suave.

Ejemplo1:

Dado el cono z2= x2+y2 parametrizado en forma cilíndrica [pic 8]demostrar que ésta es una parametrización no suave del cono en el origen.

Solución:

Los vectores tangentes elementales:

[pic 9]

Entonces el vector producto elemental:

[pic 10]

Si evaluamos en punto (0,0,0), es decir cuando r=0

Tr x T θ = (0,0,0)

∴ La parametrización no es suave en el origen.

Ejemplo 2:

Probar que la parametrización usual de cualquier función escalar [pic 11]

cuya gráfica es una superficie enR3 es siempre suave.

Solución:

Parametrizamos la superficie de forma usual:

[pic 12]

los vectores tengentes elementales:

[pic 13]

Entonces el vector producto elemental:

[pic 14]

∴La parametrización usual es siempre suave.

2.- ÁREA DE UNA SUPERFICIE EN R3.

Dada una superficie “S” en R3 parametrizada por la función

Φ: [pic 15]

[pic 16]

Por simplicidad asumimos que D es un rectangulo, entonces dividimos a D en “n” celdas. Sea Rij el ij-ésimo rectángulo en la partición con vértices. (ui, vj), [pic 17]

Si se fija u en ui y v en vj se obtienen las rectas u=ui y v=vj, que en R3representan las trayectorias

[pic 18]

Para un segmento de curva muy pequeño su longitud es aproximadamente la

magnitud del vector velocidad por lo cual tendremos para cada trayectoria

[pic 19]

Tomando las expresiones anteriores en forma vectorial y considerando las

definiciones de los vectores tangentes elementales:

[pic 20]

Sea ∆S el área de la porción de la superficie “S” que es la imagen de la región Rij si ∆U y ∆V son incrementos infinitesimales, entonces ∆S puede considerarse como paralelogramo; si recordamos que el área del paralelogramo generado por dos vectores es la norma de su producto cruz, aplicando la anterior obtenemos:

[pic 21]

[pic 22]

Definición:

Dada una superficie parametrizada por la función [pic 23]de la forma [pic 24] suave en D, tal que su imagen representa una superficie  “S” en R3. Entonces el área de “S” esta dada por la integral.

[pic 25]

Ejemplo 3:

Encontrar el área de la superficie de la esfera x2+y2+z2= R2

Solución:

Parametrizamos la superficie usando coordenadas esféricas:

[pic 26]

[pic 27]

                         [pic 28]

3.- DEFINICIÓN Y CÁLCULO DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE PARA UNA FUNCIÓN ESCALAR

En el capítulo anterior se estudiaron las integrales de trayectoria: se tenía una función escalar continua: [pic 29]la parametrización de una trayectoria en R3 [pic 30]entonces la integral de trayectoria de f sobre σ es:

[pic 31]

Así mismo se encontrará una expresión que permita evaluar la integral de una

función escalar cuya región de integración será una superficie enR3.

Dada una función [pic 32]diferenciable y acotada en U, [pic 33]la parametrización suave de una superficie “S” en [pic 34] Dividimos a D en “n” celdas. Es decir que la superficie “S” dividida en “n” porciones. Si tomamos la ij-ésima porción de superficie cuya área está definida por ∆.Sij. Definimos el producto:

[pic 35]

Al considerar la parametrización tendremos que los puntos de la superficie se definen de la siguiente manera:

[pic 36]

Para una porción de superficie muy pequeña su área es aproximadamente:

[pic 37]

Si consideramos H como la suma de todos los [pic 38]

[pic 39]

Cuando se toma un número de particiones “n” muy grande entonces tendremos:

[pic 40]

Definición:

Sea f(x,y,z) una función escalar definida en [pic 41]diferenciable y acotada en U, [pic 42]de una superficie “S” en R3,[pic 43]se llama integral de superficie de f en S a la integral.

[pic 44]

Ejemplo 4:

Evaluar la integral [pic 45]del campo escalar [pic 46]; y S  la superficie del helicoide [pic 47]

...