Las Vitaminas

Principio de conservación del momento de la cantidad de movimiento

Ya conocemos dos magnitudes que se conservan: la energía y la cantidad de movimiento. Ahora vamos a hallar la tercera magnitud conservativa que es el momento de la cantidad e movimiento.

Para esto vamos a analizar un sistema que consta de dos partículas en interaccion sobre los que también actúan fuerzas externas.

La ecuación del movimiento de las partículas tiene forma

Multiplicamos a cada ecuación por su respectivo radio vector

Y luego reemplazamos [r,v] por d/dt[r,v]

Si tenemos en cuenta que F21=-F12 entonces:

Como la masa es un escalar constante, entonces podemos introducisla bajo el signo de la derivada en función del tiempo sin que sea afectada

Sumamos las ecuaciones (a) y (b)

*F12 y (r1 –r2) tienen como producto vectorial cero porque son colineales

Si el sistema es cerrado:

Entonces:

Con esto hallamos el “momento de la cantidad de movimiento” respecto al punto O a la suma vectorial de los momentos de las cantidades de movimiento de las partículas que analizamos.

Consideremos dos casos particulares:

1.- Cuando una partícula se mueve a lo largo de una recta entonces la cantidad de movimiento de la partícula solo cambia de magnitud

2.-Cuando una partícula de masa “m” se mueve por una circunferencia de raio “R”, el módulo del momento de la cantidad de movimiento de la partícula es igual a

Como se observa en la figura, el vector M es perpendicular al plano de la circunferencia y forma un sistema dextrógiro con la dirección del movimiento.

Debido a que R es constante, la cantidad de movimiento solo varía con el módulo de la velocidad.

El momento de cantidad de movimiento queda constante en magnitud y dirección.

Momento de una fuerza

N=[rF]

Denomínese momento de la fuerza F respecto del punto O desde el cual se traza el radio vector del punto de aplicación de la fuerza.

El momento de la fuerza N caracteriza la capacidad de la fuerza de hacer girar un cuerpo alrededor del punto respecto del cual se toma referencia.

La distancia l entre las rectas a lo largo de las que actúan las fuerzas se denomina brazo de par.

Si tenemos en cuenta que F1=-F2

Esto no depende de la elección del punto O por lo tanto, el momento de un par de fuerzas respecto de cualquier punto será el mismo. Este vector es perpendicular al plano donde se encuentran las fuerzas

Para las fuerzas que actúan en sentidos opuestos en la misma línea ocurre que sus momentos son iguales en magnitud y direcciones opuestas por ello los momentos de sus fuerzas externas están en equilibrio tal y cual pasa en los sólidos.

Esta ecuación también puede ser escrita como

Aquí se describe que la derivada por el tiempo el momento de la cantidad de movimiento es igual a la suma de los momentos de las fuerzas exteriores.

Entendemos que no hay fuerzas externas por lo tanto, para un sistema cerrado M es constante. Con esto afirmamos lo que constituye el principio de conservación: “ el momento de la cantidad de movimiento de un sistema cerrado de puntos materiales siempre es constante”

Con esto hemos demostrado la correlacion para dos partículas pero podemos generalizarlas haciendo una suma de los movimientos de las partículas y multiplicando respectivamente por su radio vector:

La suma total de las N ecuaciones seria:

Como la suma de las fuerzas externas es nula entonces podemos reducirla a :

Con esto podemos ver que volvemos a una

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