Ley de enfriamiento de Newton: surgimiento, relación con las ecuaciones diferenciales y demostración práctica

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Ley de enfriamiento de Newton: surgimiento, relación con las ecuaciones diferenciales y demostración práctica.

Newton's law of cooling: emergence, with differential equations and practical demonstration.

Autor 1

Christian González López. Alumno del primer semestre la Universidad Autónoma de Guerrero en la facultad de Matemáticas del grupo: 201. Taxco de Alarcón Guerrero. México. Correo: 20444499@uagro.mx.

Resumen

Este artículo presenta una descripción histórica sobre la ley de enfriamiento de Newton, así como algunas aplicaciones prácticas y el desarrollo del modelo. El objetivo principal fue la construcción sistemática de la ecuación diferencial que representa la ley de enfriamiento de Newton y la interpretación de los resultados arrojados que permite calcular la evolución de la temperatura del ambiente. El objetivo se cumplió gracias a la experimentación.

Observamos el trabajo que realiza un automóvil desde el motor y evidentemente se calienta a altas temperaturas. Para esto se medir con una cámara termográfica la temperatura, con un cronometro medimos cada cinco minutos la decendencia de calor y verificar si concuerda con la definición de newton, que dice: la temperatura de un objeto es inversamente proporcional a la temperatura del ambiente. En seguida con la ayudad de una estufa se calentó una cierta cantidad de leche para poder hacerle el mismo procedimiento y observaciones. Cabe mencionar que al fluido que utilizamos se les sometió a dos temperaturas frio y caliente.

Se llega a la conclusión de que la ley de enfriamiento es genuina, al comparar los resultados teóricos que se consiguieron hacer gracias al modelo que hicimos con los resultados experimentales, notamos que hay una pequeña diferencia en los resultados. Esto se esperaba, ya que la experimentación no fue precisa debido a que en algunos casos el cronometro no fue detenido con exactitud. O la cámara termográfica te da una temperatura en la pantalla que nunca es constante.

Palabras clave: ecuaciones diferenciales, historia, experimentación, Newton. Abstract

This article presents a historical description about Newton's law of cooling, as well as some practical

applications, the development of the model. The main objective was the systematic construction of the differential equation that represents Newton's law of cooling and the interpretation of the results that allow the evolution of the ambient temperature to be calculated. The objective was achieved thanks to experimentation.

We observe the work that a car does from the engine and obviously it heats up at high temperatures. What we did was measure the temperature with a thermographic camera, with a stopwatch we measure the decay of heat every five minutes and verify if it agrees with the definition of Newton, which says: the temperature of an object is inversely proportional to the temperature of the environment. Immediately, with the help of a stove, a certain quantity of milk was heated in order to be able to carry out the same procedure and observations. It is worth mentioning that the fluid we use was subjected to two hot and cold temperatures.

It is concluded that the cooling law is genuine, when comparing the theoretical results that were achieved thanks to the model we made with the experimental results, we note that there is a small difference in the results. This was expected, since the experimentation was not precise because in some cases the stopwatch was not stopped exactly. Or the thermal imager gives you a temperature, since the value that appears on the screen is never constant.

Keywords: differential equations, history, experimentation, Newton.

1. INTRODUCCIÓN

Aunque los fundamentos matemáticos de la ley de enfriamiento de Newton se establecieron hace más de 200 años, sigue siendo un tema novedoso para los matemáticos, debido al hecho de que representa con mayor precisión algunos comportamientos naturales relacionados con diferentes áreas, de las cuales en las que ha tenido más impacto destacan la física, la mecánica, la ingeniería, las finanzas, el electromagnetismo, la teoría de circuitos eléctricos, la bioingeniería, entre otras. Por ello, ha asumido un papel importante para modelar la dinámica anómala de numerosos procesos relacionados con los sistemas complejos.

Se propone mostrar una forma en la que la ley de enfriamiento funciona tomando en cuenta la consistencia de los parámetros físicos, esto se realiza añadiendo un parámetro auxiliar, el cual tiene la función de normalizar las unidades físicas de la ecuación.

La ley de enfriamiento de Newton.

Según Hewitt (2007), “Un objeto a temperatura diferente de la de sus alrededores terminará alcanzando una temperatura igual a la de sus alrededores” (p. 316). Ante esta afirmación, Isaac Newton (1643 – 1727) propuso una ley sobre el enfriamiento, la cual “establece que la temperatura de un objeto calentado disminuye de manera exponencial con el tiempo, hacia la temperatura del medio que lo rodea” (Sullivan, 2006, p. 469)

La función de la ley de Newton del enfriamiento tiene como fórmula:

𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎𝑚𝑏 + (𝑇𝑖 − 𝑇𝑎𝑚𝑏)𝑒−𝐾𝑡

donde T(t) es la temperatura del objeto o cuerpo en función del tiempo, Tamb es la temperatura del ambiente en la que se encuentra el objeto, Ti es la temperatura inicial del cuerpo, t el tiempo y k una constante. Cabe mencionar que esta función también se acomoda al calentamiento de un cuerpo (cuando está a una temperatura menor a la del medio que lo rodea).

La presente exploración matemática tiene como objetivo comprobar que la ley de enfriamiento de Newton se modela a una función exponencial con base e para verificar su certeza y correcta aplicación. Para ello, se ha diseñado un método experimental que permitió medir la variación de temperatura de un cuerpo sólido (motor de un automóvil) y uno líquido (leche) utilizando un censor de temperatura, en un intervalo de tiempo que fue medido con un cronómetro. Cabe resaltar que se trabajó con dos estados distintos: para el objeto sólido sólo verificaremos cuando se encuentra en estado muy caliente, y para el sólido frío y caliente. Esto se realizó con el fin de observar un decrecimiento exponencial cuando se calientan los objetos y, para verificar si existe un crecimiento exponencial cuando la temperatura inicial del cuerpo se encuentra por debajo de la temperatura del ambiente en el que se encuentra.

1. REVISIÓN DE LA LITERATURA

La investigación presentada por (Lezcano 2015) informa que el enfriamiento de los cuerpos sí se puede modelar con una función exponencial de base e. Es cierto que los valores obtenidos experimentalmente y mediante la función de la ley de enfriamiento de Newton no son iguales. Sin embargo, los valores experimentales, al ubicarlos en un diagrama de dispersión y calcular el coeficiente de correlación exponencial correspondiente, son altos.

Además, al determinar la ecuación que se ajusta a esas nubes de puntos, ésta emplea el número e como base. Lo que es cierto es que, en el caso de esperar que un cuerpo frío se caliente, la función modelada es una logarítmica, una función especial que guarda relación con la exponencial al ser su función inversa (𝑓−1).

La diferencia entre los valores obtenidos experimentalmente y mediante la función de la ley de Newton del enfriamiento NO ES SIGNIFICATIVA. La justificación de esta afirmación se basa en la prueba estadística realizada entre ambas muestra ya que el resultado es acertado con un 95% de confianza. Es crítico para 58 y 60 grados de libertad (que es de aproximadamente 2.0). Asimismo, la probabilidad encontrada [P(T <= t) dos colas] en todos los casos es mayor a 0.05; lo que reafirma que la diferencia no es significativa.

En el estudio realizado por Arrieta, Canul (2014) denominado Lo exponencial: la ley de enfriamiento de Newton, los participantes construyen lo exponencial como herramienta al intentar comprender y predecir lo que sucede al enfriarse un líquido.

El estudio realizado por Gayola et al. (2016) consistió en someter la ley de enfriamiento newton en una planta nuclear en el que se consiguió un tiempo óptimo para evaluar la temperatura precisa y así alcanzar su máxima eficiencia. De esa manera no se pierde energía en forma de calor y todo es aprovechada correctamente. A partir de ello concluyeron que el método empleado fue bueno, por su precisión y sencillez tanto experimentalmente, como para el tratamiento de datos, los cuales han sido ajustados mediante la ecuación de Newton. El método, sin embargo, presenta la desventaja de que en el momento que se cambia la celda de baño termostático, se produce una pequeña bajada de temperatura, observándose la pérdida de alguna décima de grado Celsius, por ello esta fase del proceso requiere una especial atención.

Finalmente, en la investigación de Herrera-Sánchez et al. (2029) muestra cómo la ley de enfriamiento de Newton fue aplicada en una línea de producción en la empresa “Productos Alimenticios La Morena S.A.”, donde se tenía la problemática del manejo de su producto terminado, latas de chiles de 200

gramos. En su proceso térmico de esterilización, las latas deben pasar por una tina de enfriamiento para después ser empacadas y embarcadas como producto terminado. Gracias a la aplicación de esta ley llegaron a las siguientes conclusiones:

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