Ley enfriamiento de newton
Enviado por nano13128 • 9 de Julio de 2019 • Tareas • 332 Palabras (2 Páginas) • 3.222 Visitas
PROBLEMA 1. Modelo matemático con Ley de Enfriamiento de Newton.
Era el mediodía en un frío día de diciembre en Tampa: 16°C. El detective Taylor llegó a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cadáver. El sargento dijo que había varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podrían reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor sacó un termómetro y midió la temperatura del cuerpo: 34.5°C. Luego salió a comer. Al regresar, a la 1:00 P.M., halló que la temperatura del cuerpo era de 33.7°C. ¿En qué momento ocurrió el asesinato? [sugerencia: La temperatura normal del cuerpo es de 37°C].
Para resolver el problema usamos la ecuación diferencial de la Ley de Enfriamiento de Newton:
[pic 1]
[pic 2]
La resolvemos con las siguientes condiciones de frontera:
[pic 3][pic 4]
[pic 5]
La solución se muestra a continuación:
[pic 6]
La forma de la ecuación permite una separación de variables:
[pic 7]
Integramos:
[pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
Despejamos T:
[pic 13]
[pic 14]
Encontramos T(t):
[pic 15]
Para encontrar C1 aplicamos la condición de frontera 1 y sustituimos Tm:
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
Sustituyendo los valores de C1 y Tm en nuestra función, T(t) queda:
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Para encontrar el valor de k, aplicamos nuestra condición de frontera 2 en T(t):
2. [pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
Sabiendo el valor de k, nuestra función T(t) queda:
[pic 32]
[pic 33]
Si queremos saber la hora del asesinato del individuo, suponemos que T=37°C, la temperatura normal corporal y por tanto sustituimos en nuestra función T(t) para hallar t en minutos:
[pic 34]
Despejamos t:
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
El t negativo indica que se tiene que restar esa cantidad de tiempo a la hora en el cual se encontró el cadáver, es decir, a las 12:00 pm.
Si el cuerpo fue encontrado a las 12:00 pm, y si 172.21 minutos son 2.87 horas:
[pic 39]
Las 0.87 hrs equivalen a 52 minutos. Si los restamos a las 10:00 hrs:
[pic 40]
Por tanto la hora de asesinato fue a las 9:08 am.
Para graficar el comportamiento de enfriamiento del cuerpo desde el momento del asesinato, tenemos que modificar nuestra función.
...