Ley De Enfriamiento De Newton

LEY de ENFRIAMIENTO de NEWTON

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INTRODUCCIÓN

La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos llamados; fuente y receptor, llevándose a cabo en procesos como condensación, vaporización, cristalización, reacciones químicas, etc. en donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus peculiaridades. La transferencia de calor es importante en los procesos, porque es un tipo de energía que se encuentra en transito, debido a una diferencia de temperaturas (gradiente), y por tanto existe la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin embargo esta energía en lugar de perderse sin ningún uso es susceptible de transformarse en energía mecánica por ejemplo; para producir trabajo, generar vapor, calentar una corriente fría, etc. En virtud de lo anterior es importante hacer una introducción al conocimiento de los procesos de transferencia de calor a través de la determinación experimental de la ecuación empírica que relaciona la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con respecto al medio.

Experimentalmente se puede demostrar y bajo ciertas condiciones obtener una buena aproximación a la temperatura de una sustancia usando la Ley de Enfriamiento de Newton. Esta puede enunciarse de la siguiente manera: La temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Suponiendo que la constante de proporcionalidad es la misma ya sea que la temperatura aumente o disminuya, entonces la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento es:

(1)

Donde:

T = Temperatura de un cuerpo

t = tiempo

Tm = Temperatura del medio ambiente

Procediendo a la solución de la ecuación (1) y separando variables

(2)

integrando cada miembro de la ecuación

(3)

Obtenemos

(4)

y por tanto la ecuación inversa es;

(5)

(6)

Si:

(7)

(8)

(9)

Ejemplo: Un termómetro marca la temperatura de un sistema igual a 80°C., se mide también la temperatura del medio la cual es de 20°C. El sistema se empieza a enfriar y tres minutos después se encuentra que el termómetro marca 75°C. se desea predecir la lectura del

termómetro para varios tiempos posteriores, por lo tanto se requiere determinar la ecuación del enfriamiento en función de los valores dados.

Representemos por "T" (°C.) la temperatura marcada por el termómetro, al tiempo "t" (min.). Los datos indican que cuando t = 0.0; T = 80.0, y cuando t = 3.0 min., T = 75°C.

De acuerdo con la ecuación (9) de la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de variación de la temperatura con el tiempo, dT/dt, es proporcional a la diferencia de temperaturas (T - 20.0). Ya que la temperatura que marca el termómetro está decreciendo, entonces (-k) resulta la constante de proporcionalidad. Así "T" debe ser determinada de la ecuación diferencial, por lo tanto necesitamos conocer las lecturas del termómetro en dos tiempos diferentes, debido a que hay dos constantes que deben ser determinadas, "k" de la ecuación (1) y la constante de "integración" que se encuentra en la solución de la misma.

Así que bajo las condiciones dadas:

(10) cuando t = 0.0 ; T = 80.0

y transcurrido un cierto tiempo de enfriamiento

(11) cuando t = 3.0 ; T = 75.0

de la ecuación (9) se sigue inmediatamente que debido a que la temperatura ambiente es igual a 20 °C. entonces:

T = 20 + Ce-kt

Entonces; la condición (10) nos indica que 80 = 20 + C y por lo tanto la constante de integración es: C = 60, de tal forma que tenemos que la ecuación anterior resulta:

(12) T = 20 + 60e-kt

El valor de "k" será determinado ahora usando la condición (11). Haciendo t = 3.0 y T = 75 por lo que con la ecuación (12) obtenemos

(13) 75 = 20 + 60e-kt

realizando el despeje correspondiente resulta que: e-kt = 0.917, ahora aplicando "ln" a la ecuación y despejando la constante de proporcionalidad cuando el tiempo es igual a 3.0 min. resulta: k = - 1/3 ln 0.917 por lo tanto:

(14) k = 0.02882602

Ya que ln 0.917 = - 0.0866, la ecuación (12) puede reemplazarse por:

(15) T = 20.0 + 60 e-0.02882602 t

la cual resulta la ecuación de la ley de enfriamiento de Newton aplicada a nuestro sistema, es decir que el valor de "k" depende de las características específicas del sistema en particular, ecuación con la que podemos determinar

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