Leyes de Krirchhof con ejemplos

 UNIDAD  3

3.1  CONCEPTO DE CIRCUITO ELÉCTRICO

Un circuito eléctrico es una agrupación de elementos conductores, elementos pasivos, semiconductores y fuentes de energía conectados entre si y dispuestos de manera tal que se logra producir, modificar o anular los efectos relacionados  con las cargas eléctricas en movimiento.

El circuito eléctrico puede estar formado por  una fuente y un elemento o por una cantidad indefinida de ellos.

3.2  LEYES DE KIRCHHOFf.

Las ecuaciones de las leyes de Kirchhoff pueden establecerse con toda precisión en un circuito, de tal manera que se obtengan las ecuaciones adicionales a las ecuaciones de los elementos.

Es necesario sólo un grupo de nodos y de mallas llamados independientes, es decir que no pueden deducirse de otras.

• LEY DE LAS CORRIENTES DE KIRCHHOFF.

“La suma algebraica de las corrientes que inciden en un nodo es igual a cero.”

Representada en forma matemática.

[pic 1]

Por ejemplo para el nodo n

[pic 2]

[pic 3]

(1,n)i1 + (2,n)i2 + (3,n)i3 + (4,n)i4  =  0

   -1       +  1         -  1        + 1     =  0

  - i1         +  i2        -  i3       +  i4    =  0             Ecuación de nodo de la figura 1

Para una  red  o circuito donde haya n nodos en c componentes se puede establecer lo siguiente:

1. En la red habrá  n-c  nodos independientes.
2. En cada componente se elimina un nodo. A  los nodos eliminados se les llama nodos de referencia, y se denotan con el número 0 y se les marca con una cruz.
3. El resto de los nodos serán independientes y se le numera como  1, 2, 3,…..etc.
4. Para cada nodo independiente se escribe una ecuación de la Ley de las corrientes de Kirchhoff.

Ejemplo:

[pic 4]

De la red gráfica, encuentre las ecuaciones de los nodos.

Solución:

Red gráfica con dos componentes,  7 nodos y 8 elementos.

C  =   2

n   =   7

λ  =   8

Se elijen los nodos que se van a eliminar y los nodos independientes.[pic 5]

n i  =  n - c

ni  =  7- 2   =   5  nodos independientes.

ECUACIONES DE LOS NODOS:

• LEY DE LOS VOLTAJES DE KIRCHHOFF.

La Ley de los voltajes de Kirchhoff establece que:

“La suma algebraica de las caídas de tensión a través de los elementos que forman una malla es igual a cero.”

Matemáticamente:

[pic 6] 

Donde μ es el número de mallas independientes de la red, las cuales se obtienen de la siguiente relación:

• =  λ -  ni

Por ejemplo en la red gráfica de la figura No. 2B,  el número de mallas está dado por:[pic 7]

• =  λ -  ni
• = 8 – 5  =   3  mallas

PROBLEMA  1.

Aplicando las Leyes de Kirchhoff obtenga las corrientes y las tensiones en cada elemento del circuito mostrado.

[pic 8]

SOLUCIÓN.

Se marcan los elementos con un número, se le asigna una dirección a la corriente de cada elemento (puede ser en cualquier sentido) se seleccionan los nodos y se anotan los datos del problema.

DATOS.

R2  =  4Ω                        R5  =  6Ω                             λ =  6,      n  =  4,     C  =  1

R3  =  2Ω                                       R6  =  10Ω

R4  =  8Ω                        E1  =   24 V

1   Calculo de los nodos y mallas independientes.

  ni  =  n – C  = 4 – 1  =   3  nodos

Mallas independientes

μ  =  λ - ni   =   6 - 3  =  3 mallas.

2. Ecuaciones integrodiferenciales de los elementos.

    E1 =  - e1        =  - 24 V  

    E2 =  R2i2          =      4i2

    E3 =  R3i3        =      2i3

...