Los Num Reales

Resumen

En este artículo, nos concentraremos en la discusión tanto de los problemas del aprendizaje del concepto de límite en estudiantes de educación media y nivel superior como en los problemas de enseñanza que esto implica. Las investigaciones realizadas han reportado bajo nivel académico con la noción de límites que a su vez descansa a una noción no menos intuitiva de los números reales. Esto se agrava ya que no viene una buena discusión a nivel intuitivo dejando en claro que no se trata de un curso de Análisis si no de uno de Cálculo.

Introducción

Es mucho más fácil explicar el cálculo de un límite que, el de razonar sobre su propio significado, pero no debemos limitar al simple cálculo tenemos que esforzarnos para que nuestros alumnos desde el principio asimilen las ideas principales de este importante concepto, aunque en los primeros momentos de este estudio les resulte muy difícil. Sin este esfuerzo, realizado a lo largo de varias etapas de cimentación y maduración, los alumnos no asimilarán la idea de límite, y no les habrá servido de nada su estudio durante tantos años.

Obstáculos en el aprendizaje del concepto de limite

Cornu (1981) con el paso de los años nos damos cuenta que se sigue trabajando con las ideas primitivas para proporcionar un acercamiento del concepto de limite provocando mal entendimiento de este.

Para poder adentrarnos dentro del estudio de limites es necesario que los alumnos tengan un “buen” estudio previo del análisis de los números reales con la intensión de que ellos no sigan teniendo una inapropiada explicación intuitiva sobre el concepto, creando una lucha campal contra las ideas promovidas ya que está demostrado que los alumnos tienen “concepciones espontaneas personales”, pero, ¿cómo puede ser posible esto? Uno de los obstáculos en el aprendizaje del concepto a estudiar son los libros que se utilizan para el estudio

Existe una gran variedad de material por ejemplo, los libros clásicos de Cálculo para ingenieros, etc., como el Piskunov, tienen un montón de cosas interesantes, así como también los americanos como el Stewart, el Larson, Leithold etc. El problema que se encontró en estos libros es que actualmente son muy muy breves en el tema de reales previo a límites, la razón por lo que esto ocurre es porque las editoriales quieren que todo el mundo compre sus libros haciendo énfasis “supuestamente” en todo, pero haciendo mucha alusión a las aplicaciones en economía, administración, química, etc., haciendo que el interés por las matemáticas sea solo de tipo instrumental, con la recapitulación de varios libros nos dimos cuenta que para abordar previamente el tema de límites, en el estudio de números reales se enfocan mucho en la representación geométrica de gráficas, propiedades, su orden y solucionar mil problemas pero la más constante, resolver desigualdades o simplemente omitir todo con mucha tranquilidad.

En general “limite” y “tender hacia” no forman parte del contexto. El limite designa algo preciso, mientras que tender hacia se designa algo más vago.

Un ejemplo de esto es un reporte que realizo Schwarzenberger y Tall (1978) y que se repitió nuevamente con alumnos obteniendo resultados semejantes.

Se preguntó si 0.999… es igual a 1, o menor que 1.

Muchas de las respuestas tenían conceptos infinitesimales, diciendo que eran igual porque la diferencia entre ellos era infinitamente pequeña, pero la mayoría de los alumnos pensó que 0.999… era menor que 1 predominando en ellos el carácter inalcanzable del límite. El principal error se produce de la representación de 0.999... como un proceso infinito y no en el que el proceso está terminado.

Al decirle a los alumnos que los números eran iguales y demostrarles mediante diversos métodos muchos lo aceptaron pero solo como un acuerdo.

Lo anterior ocurre por la manera promovida en cómo se enseña provocando una discusión didáctica en “saber de qué hablamos”, es decir para comprender el concepto de límite de una función cuando x → c (x tiende a c) comprendiendo límites finitos y límites infinitos, se requiere cierta madurez que permitan abrir la mente de distintas formas de proceder. Esta madurez que no siempre es alcanzada por los estudiantes, Por esto los maestros deben propiciar cambios que permitan que los alumnos descubran como se construyen los conceptos a partir de sus conocimientos previos y que mejor que con el manejo adecuado de los números reales.

Los números reales

Todo estudiante que llega a una escuela de nivel medio superior y superior tiene una relación mínima con los números reales, pero estos no han sido explotados en toda su amplitud.

3.1 Axioma del supremo

Una de las propiedades esenciales que nos puede ayudar en el entendimiento del concepto de límites es el axioma del supremo, aunque a primera vista el axioma resulta extraño para los alumnos, ya que términos como cota superior, cota de un conjunto y supremo son conceptos con los que el alumno de nivel medio superior no está familiarizado, pero a medida que se avance, verá la importancia de este axioma explicándole que este es un paso previo al concepto de limite.

3.2 Método de exhaución

Otra forma de poder abordar los números reales con la intensión de

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