Límites de Funciones ¿Qué es una función?
0191299Apuntes6 de Diciembre de 2022
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ECONOMÍA MATEMATICA II EYAV
[pic 1]
ECONOMÍA MATEMÁTICA II
INTRODUCCIÓN
Límites de Funciones
¿Qué es una función?
Una función es una regla que asigna a cada elemento en un conjunto A un y sólo un elemento de un conjunto B.
El conjunto A es el dominio de la función. Se acostumbra denotar una función mediante una letra del alfabeto, como la letra . Si es un elemento del dominio de una función , entonces el elemento en B que asocia a se escribe y se llama valor de en . El conjunto formando por todos los valores asignados a cuando toma todos los valores posibles en su dominio es la imagen o rango de la función .[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]
En pocas palabras, una función se define como una aplicación entre dos variables en la cual para cada valor del elemento del dominio le corresponde un solo valor del rango.
Ejemplo 1 Sea la función definida por la regla
, en donde ^ [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
Calcular: para [pic 18][pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Es relativamente sencillo escribir un valor para conociendo es valor de , sin embargo, algunas funciones presentan cierta dificultad.[pic 25][pic 26]
Ejemplo 2 Consideramos la siguiente función. . Halle el valor de cuando [pic 27][pic 28][pic 29]
Si se intenta evaluar esta expresión se ve que el numerador y el denominador de la función tienden a cero cuando tiende a 0; es decir, se obtiene una expresión de la forma 0/0. Cuando esto ocurre, se dice que la función tiene forma indeterminada. [pic 30]
¿Sera posible conocer el valor de ? [pic 31]
Los límites de funciones permiten analizar de manera más profunda estos problemas.[pic 32]
‘‘Límite es tendencia’’
Tomando en cuenta el ejemplo anterior, al usar límites se busca el valor de cuando se acerca a cero , ya sean por la izquierda y/o por la derecha.[pic 33][pic 34][pic 35]
[pic 38][pic 36][pic 37]
LÍMITE POR LÍMITE POR
LA IZQUIERDA LA DERECHA
[pic 39] |
-3 -2 -1 0 1 2 3
LÍMITES LATERALES
Un límite se denota por:
[pic 40]
Y en el ejemplo anterior
[pic 41]
Para hallar dicho límite es necesario calcular los límites laterales. Se deduce: [pic 42][pic 43]
[pic 44][pic 45]
[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]
2 0,454648 -2 0,454648
1,5 0,664996 -1,5 0,664996
1 0,841471 -1 0,841471
0,5 0,958851 -0,5 0,958851
0,05 0,999583 -0,05 0,999583
0,0001 0,999999 -0,0001 0,999999
[pic 56][pic 57]
Se acerca a 1 Se acerca a 1
TEOREMA DE EXISTENCIA DEL LÍMITE
Dada la función y un valor del dominio [pic 61][pic 58][pic 59][pic 60]
existirá solo si existen los límites laterales y estas son iguales[pic 62]
[pic 63]
LÍMITES ESPECIALES
Límites Infinito
Dada una función y un valor se define: donde el término que significa ‘‘’’.[pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]
¿Qué ocurre si en lugar de se impone ?[pic 69][pic 70]
[pic 71]
[pic 72]
[pic 73]
- Y en: se cumple[pic 75][pic 74]
[pic 76]
- Ejercicio 1:
En la función
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- [pic 78]
Elegimos y a analizamos los limites laterales:[pic 79]
- … (por la izquierda)[pic 80]
[pic 81]
- … (por la derecha)[pic 82]
[pic 83]
- [pic 84]
Aplicamos el teorema de la existencia del límite y con el ítem anterior comprobamos que:
[pic 85]
[pic 86]
Entonces el límite no existe porque el límite tanto por la izquierda y por la derecha no coinciden.
- [pic 87]
[pic 88]
Ejercicio 2:
[pic 89]
[pic 90]
Usamos los límites laterales
[pic 91][pic 92]
x | y |
5 | -6 |
4 | -12 |
3.5 | -24 |
3.111 | -108.108 |
3.11 | -109.09 |
3.1 | -120 |
x | y |
1 | 6 |
2 | 12 |
2.5 | 24 |
2.9 | 120 |
2.99 | 1200 |
2.999 | 12000 |
[pic 93][pic 94]
[pic 95][pic 96]
Entonces concluimos que el límite no existe porque no cumple el teorema de la existencia del limite
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