LIMITE DE UNA FUNCION

INTRODUCCIÓN

El vocablo que nos ocupa en primer lugar, límite, podemos decir que se trata de una palabra que procede, etimológicamente hablando, del latín. En concreto, emana del sustantivo “limes”, que puede traducirse como “frontera o borde”.

La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo al que llega en un determinado tiempo o de una restricción o limitación.

Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.

Función, por su parte, también coincide con el término anterior en lo que respecta a su origen. Y es que, de igual modo, viene del latín, más exactamente de “functio”, que es sinónimo de “función o ejecución”.

El concepto de límite es primordial para muchos problemas en física, ingeniería y ciencias sociales.

Este concepto se usará para las siguientes unidades, y además, para trabajar conceptos que son muy importantes (como el de continuidad y el de derivabilidad) por ello, hay que trabajar el límite de una forma para que se pueda usar en el futuro de una manera natural; y no como si fuera un concepto nuevo, y con la dificultad que este concepto conlleva.

Para desarrollar conceptos como continuidad, discontinuidad y derivabilidad, será de mucha utilidad el concepto de límite.

Gracias al concepto de límite, podemos ver si una función es continua en un punto, una de las formas de verlo es calcular los límites laterales en dicho punto, y si coinciden los límites laterales por la izquierda y por la derecha, la función será continua en dicho punto.

Consecuentemente, si los límites laterales no coinciden en dicho punto, habrá discontinuidad en ese punto, en este caso la discontinuidad será de salto finito (si los limites laterales son finitos) o de salto infinito (si algún límite lateral es infinito). Existen otro tipo de discontinuidades, por ejemplo las discontinuidades esenciales, donde los límites laterales existen y son iguales, pero la función no está definida en ese punto o la imagen en ese punto es distinto al valor de los límites laterales.

También se usará los límites para ver si una función es derivable en un punto.

SUCESIONES Y LÍMITE DE SUCESIONES

Una sucesión es una función discreta, cuyo dominio de definición son los números naturales positivos. La variable independiente se representa con la letra n y la variable dependiente se representa por a_n.

Una sucesión a_n, tiene límite L, si al crecer indefinidamente n, los términos de la sucesión a_n se aproximan indefinidamente al número L. Que los términos de a_n se aproximan indefinidamente a L, significa que todos los términos de la sucesión a partir de uno en adelante están contenidos en cada entorno L. Lo representamos por:

〖lim〗_(n→∞) a_n=L

En las sucesiones no podemos hablar de límite cuando n se aproxima a un número natural positivo, porque en el dominio de definición de las sucesiones, el conjunto de los números naturales positivos, no nos podemos aproximar indefinidamente a cualquier elemento, como mucho nos podremos aproximar al número entero anterior o al siguiente.

Ejemplo:

Sea la sucesión:

a_n=(3n-1)/n

Los términos de la sucesión son:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 …..

a_n 2 2,5 2,666.. 2,75 2,8 2,8333 2,857 2,875

a_n=(3n-1)/n=3

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Sea y = f(x) una función real de variable real. De una manera intuitiva y poco precisa, diremos que el límite de f(x) es L, cuando x se aproxima a p, si ocurre que cuanto más próximo esté x a p, más se aproxima los valores de la función f(x) a L. Es importante comprender que el concepto de límite se refiere a las proximidades del punto y nada tiene que ver con el punto, donde la función puede o no existir, o tomar un valor distinto que el del límite.

DEFINICIÓN

Se dice que el límite de la función y = f(x), cuando x tiende a p, es igual a L, y escribiremos lim┬(x→p)⁡〖f(x)=L〗 sí y sólo sí, dado cualquier ε positivo, siempre es posible encontrar al menos un δ, también positivo y dependiente de él, tal que, si la diferencia de la variable al punto, en valor absoluto, es menor que δ, entonces la diferencia entre los valores de la función en dichos puntos y el límite, en valor absoluto, se mantiene menor que el ε dado.

De una forma simbólica:

lim┬(x→p)⁡〖f(x)=L ↔ ∀ε>0 ∃δ>0 /〗 |x-p|<δ → | f(x)-L|<ε

A los extremos de la recta real tan sólo nos podemos aproximar por uno de sus lados, es decir, que a +∞ sólo nos podemos acercar por su izquierda, mientras que a -∞ sólo nos podemos acercar por su derecha. Sin embargo, a cualquier otro punto p de la recta real nos podemos aproximar por ambos lados: por su izquierda (mediante valores menores que p) p^- o por su derecha (mediante valores mayores que p) p^+.

Puede resultar interesante ver que ocurre en la función al aproximarnos a p por cada lado: aparecen de esta manera los límites laterales de una función en un punto p.

LÍMITE POR LA IZQUIERDA

Se dice que el límite por la izquierda de una función f(x) es L_1, cuando x tiende hacia p, y se escribe lim┬(x→p)⁡〖f(x)=L_1 〗, si para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que si 0<p-x<δ, entonces se verifica que |f(x)-L_1 |<ε.

LÍMITE POR LA DERECHA

Se dice que el límite por la derecha de una función f(x) es L_2, cuando x tiende hacia p, y se escribe lim┬(x→p)⁡〖f(x)=L_2 〗, si para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que si 0<p-x<δ , entonces se verifica que |f(x)-L_2 |<ε.

Cuando ambos límites laterales existan y sean iguales, entonces existirá límite de la función en el punto p.

lim┬(x→p)⁡〖f(x)=L ↔ lim┬(x→p)⁡〖f(x)=L〗 y lim┬(x→p)⁡〖f(x)=L〗

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