MATEMATICAS (METODOS DE FACTORIZACION)

• 1.2.1 FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA GENERAL

Si tenemos una ecuación de la forma ax2 + bx + c, entonces se cumple que

1. = b2 – 4( a• c ), el símbolo se conoce como discriminante de la ecuación cuadrática.

2. y

En general el conjunto solución de está ecuación es S =  x1 , x2  y su factorización es

( x  x1 ) ( x  x2 ).

EJEMPLO 13

Factorice por completo la expresión x2 – 7x + 10.

Solución:

Tenemos que a= 1 , b = –7 , c = 10.

Utilizando 1. se obtiene

= b2 – 4 ( a• c )

= ( –7 ) 2 – 4 ( 1• 10 )

= 9

Luego se utiliza 2. para determinar y .

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación x2 – 7x + 10 es S =  2 , 5  ; entonces su factorización corresponde a

( x – 2 ) ( x – 5 )

NOTA: SIGNOS OPUESTOS al signo de cada número en el conjunto solución.

EJEMPLO 14

Factorice el polinomio completamente.

Solución:

Tenemos que a= 2 , b = 1 , c = –3.

Utilizando 1. se obtiene

= b2 – 4 ( a• c )

= ( 1 ) 2 – 4 ( 2• –3 )

= 25

Luego se utiliza 2. para determinar y .

Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación es S =  , 1  ; entonces su factorización corresponde a

( 2x + 3 ) ( x – 1 )

NOTA: SIGNOS OPUESTOS al signo de cada número en el conjunto solución; observe también que en la expresión se coloca primero el valor del denominador - en este caso 2- delante de la “x” y el valor del numerador después.

• 1.2.2 FACTORIZACIÓN POR INSPECCIÓN

Este método sirve para factorizar trinomios de segundo grado, o sea, expresiones de la

ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales.

CASO 1:

Si a = 1, es decir, la expresión tiene la forma x2 + bx + c , se deben buscar dos números enteros que sumados den como resultado “b” y multiplicados den como resultado “c”.

PASO 1: Determinar si existe factor común entre los términos del polinomio.

PASO 2: Encontrar la manera de escribir “x2” como una multiplicación, esos factores se escriben formando una columna.

PASO 3: Encontrar todas las parejas de números enteros cuya multiplicación sea igual a “c” y se anotan en una columna al lado derecho de la anterior.

PASO 4: Comprobar que el término “b” del trinomio sea igual a la suma de los productos cruzados entre los factores, elegir cual arreglo de parejas es el correcto y anotar cada línea horizontal formada por las columnas entre paréntesis.

EJEMPLO 15

Factorice completamente el polinomio x2 + 5x + 6.

Solución:

x 2 NÓTESE que: x • x = x2 y 2 • 3 = 6

x 3

Multiplicando en cruz: 3 • x + 2 • x = 5x , y se cumple que “b” = 5

R/ La factorización es ( x + 2 ) ( x + 3 ).

EJEMPLO 16 (Usando la calculadora)

Factorice la expresión x2 – 3x – 18.

Solución:

Para factorizar la expresión dada se hace lo siguiente:

1. Se ingresan los valores en la calculadora científica para obtener el conjunto solución; este corresponde a S =  –3 , 6 .

2.Escribimos dos factores que contengan a la variable “x” de la siguiente manera:

( x  ) ( x  )

3. Anotamos los valores del conjunto solución que da la calculadora PERO con signo OPUESTO:

( x + 3 ) ( x – 6 )

R/ La factorización es ( x – 6 ) ( x + 3 )*.

*NOTA: el orden de los factores no altera el producto.

CASO 2:

a 1, es decir, la expresión tiene la forma ax2 + bx + c .

PASO 1: Determinar si existe factor común entre los términos del polinomio.

PASO 2: Encontrar todas las parejas de números enteros cuya multiplicación sea igual a “a”, esos factores se escriben formando una columna.

PASO 3: Encontrar todas las parejas de números enteros cuya multiplicación sea igual a “c” y se anotan en una columna al lado derecho de la anterior.

PASO 4: Comprobar que el término “b” del trinomio sea igual a la suma de los productos cruzados entre los factores, elegir cual arreglo de parejas es el correcto y anotar cada línea horizontal formada por las columnas entre paréntesis.

EJEMPLO 17

Factorice por completo el polinomio 6x2 – 16x – 6.

Solución:

Observe que 6x2 – 16x – 6 = 2 ( 3x2 – 8x – 3 ) -aplicando factor común-

3x 1 NÓTESE que: 3x • x = 3x2 y 1 • ( – 3 ) = – 3

x – 3

Multiplicando en cruz: 3x • ( – 3 ) + x • 1 =

– 9 x + x = –8 x , y se cumple que “b” = –8

R/ La factorización es 2 ( 3x + 1 ) ( x – 3 )

EJEMPLO 18

Factorice la expresión 15a2x2 – 11abx – 12b2.

Solución:

3ax – 4b NÓTESE que: 3ax • 5ax = 15 a2x2 y – 4b • 3b = – 12b

5ax 3b

Multiplicando en cruz: 3ax • 3b + 5ax • ( –4b ) =

9 abx + ( –20abx ) = –11 abx , y se cumple que “b” = –11

R/ La factorización es ( 3ax – 4b ) ( 5ax + 3b )

EJEMPLO 19 (Usando calculadora)

Factorice por completo el polinomio 6x2 – 16x – 6.

Solución:

Para factorizar la expresión dada se hace lo siguiente:

1. Se aplica, de ser posible, la factorización por factor común 2 ( 3x2 –8x –3)

2. Se ingresan los valores en la calculadora científica para obtener el conjunto solución de la ecuación cuadrática; este corresponde a S =  – , 3 .

3.Escribimos dos factores que contengan a la variable “x” de la siguiente manera:

2 ( x  ) ( x  )

4. Anotamos los valores del conjunto solución que da la calculadora PERO con signo OPUESTO, y aplicando lo estudiado en el ejemplo 2 de la factorización por fórmula general para la expresión .

2 ( 3x + 1 ) ( x – 3 )

R/ La factorización es 2 ( 3x + 1 ) ( x – 3 )

• 1.2.3 FACTORIZACIÓN POR FÓRMULAS NOTABLES

La factorización mediante Fórmulas Notables, se caracteriza porque la expresión dada se puede escribir como una fórmula notable.

Resumen de las fórmulas notables:

1- ( a + b )2 = a2 + 2ab + b

2- ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2

3- ( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2

4- ( a + b )3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

5- ( a – b )3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3

6- ( a + b ) ( a2 – ab + b2 ) = a3 + b3

7- ( a – b ) ( a2 + ab + b ) = a3 – b3

Antes de iniciar con el estudio propiamente de la factorización mediante Fórmula Notable, se hará un breve repaso de la aplicación y desarrollo de estas fórmulas notables.

EJEMPLO 20

La expresión ( 3x2 + 5 )2 es igual a

Solución:

Se aplica el producto notable 1 : ( 3x2 + 5 )2 = ( 3x2 )2 + 2 (3x2•5) + ( 5 )2

= 9x4 + 30x2 + 25.

EJEMPLO 21

La expresión ( m2 – m3 )2 es equivalente a

Solución:

Se aplica el producto notable 2 : ( m2 – m3 )2 = ( m2 )2 – 2 (m2 • m3 ) + ( m3 )2

= m4 – 2 m5 + m6.

EJEMPLO 22

La expresión ( a – ) ( a + ) es igual a

Solución:

Se aplica el producto notable 3 : ( a – ) ( a + ) = a2 – ( )2

= a2 – 3 .

EJEMPLO 23

Calcule el resultado de ( x2 + 2 )3 .

Solución:

Se aplica el producto notable 4 : ( x2 + 2 )3 = ( x2 )3 + 3  ( x2 )2 • 2  + 3  x2 • ( 2 )2  + ( 2 )3

= x6 + 3  2 x4  + 3  4 x2  + 8

= x6 + 6x4 + 12 x2 + 8

EJEMPLO 24

Calcule el resultado de ( 2x4 – 5y )3 .

Solución:

...