MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. LA MEDIA ARITMÉTICA

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son valores dentro del rango o recorrido de una variable, alrededor de los cuales los valores que toma la variable tienden a agruparse, estas medidas localizan la distribución, sirven para representarla y hacer posible su comparación con otras distribuciones de datos.

Las medidas de tendencia central de uso más frecuente son

• la media aritmética (o simplemente media),
• la mediana y
• la moda.

LA MEDIA ARITMÉTICA [pic 4]

1. Definición

La media aritmética de [pic 5] valores numéricos de una variable es el cociente de dividir la suma de los valores entre el número de ellos. Es decir, si designamos por [pic 6] a la media aritmética y se tienen los valores numéricos [pic 7]

[pic 8]

Para expresar esta fórmula más brevemente se emplea el símbolo de sumatoria, [pic 9], de modo que

[pic 10]

Es muy general el uso de las palabras media o promedio, sin ningún calificativo, para designar a la media aritmética.

Significado

“[pic 11]es el valor que tendría cada dato si la suma de todos ellos se repartiera equitativamente.”

La [pic 12] de una distribución de datos representa el “centro de gravedad” de la distribución, es decir, el lugar donde está concentrado el “peso” de la distribución de datos.

2. Cálculo de la media

2.1. Datos no agrupados

Para calcular la media de [pic 13] se suman todos los datos y la suma se divide entre el número de datos [pic 14] es decir:

[pic 15]

Ejemplo

Los precios (soles) de menús ejecutivos en 5 restaurantes son 7, 7, 8, 10 y 9. ¿Cuál es el precio promedio de un menú ejecutivo?

[pic 16]

Uso de la calculadora 

• Calcular la media
• Se pueden hacer cálculos adicionales como:

1. el número de datos ingresados [pic 17]:

1. la suma de los datos ingresados [pic 18]:

1. la suma de los cuadrados de los datos ingresados [pic 19]:

2.2. Datos agrupados en valores discretos

Cuando los datos están organizados en valores discretos como en la tabla

Para calcular la media aplicamos su definición (sumar los datos y dividir la suma entre el número de datos) .

Si usamos la notación de sumatoria obtenemos:

[pic 32]

Ejemplo

El siguiente cuadro corresponde al número de hijos por familia [pic 33]en un grupo de 30 encuestados.

1. ¿Cuál es el número promedio de hijos por familia?

                                [pic 37]

El número medio de hijos por familia es [pic 38] Lo cual significa que si la cantidad total de hijos (137) se repartiera equitativamente entre las 30 familias, a cada familia le correspondería [pic 39] hijos aproximadamente.

Ahora hagámoslo en la calculadora………

1. ¿Cuál es el número promedio de hijos por familia de aquellas familias con no menos de 3 hijos ni más de 7 hijos?

[pic 40]

El número medio de hijos por familia de aquellas familias que tienen entre 3 y 7 hijos inclusive es [pic 41].. y en la calculadora…¿cómo lo obtendrías?…..

2.3. Datos agrupados en intervalos

Al agrupar los datos en intervalos, cada intervalo puede ser considerado como una caja negra de la cual se conoce únicamente cuántos datos contiene pero no cuáles son sus valores, esto genera un problema en el cálculo del promedio puesto que no se tienen los valores a promediar.

Una forma de resolver el problema consiste en:

 “suponer que dentro de cada intervalo los datos se distribuyen de manera uniforme lo cual equivale a que los valores de la distribución original de datos sean reemplazados por las marcas de clase de cada intervalo (puntos medios de cada intervalo), cada una de las cuales se repite un número de veces igual al que indica la frecuencia absoluta simple del intervalo al que pertenece”

Para calcular la media se aplica la definición y las consideraciones anteriores y se obtiene:

[pic 58]

Usando la notación de sumatoria

[pic 59]

Ejemplo

        El cuadro siguiente se refiere a la venta diaria de gasolina (en galones) de 150 grifos con una capacidad de almacenamiento mínimo de [pic 60] y máximo de [pic 61] galones. La información fue recogida en el ámbito de Lima metropolitana, en junio del año 2007. Vamos a calcular la venta promedio diaria.

de acuerdo con lo antes mencionado:

[pic 90]

la venta promedio diaria de los 150 grifos, es de [pic 91] galones, lo que indica que si la venta total de [pic 92]galones se reparte equitativamente entre los 150 grifos, la venta que le correspondería a cada grifo habría sido de [pic 93] galones.

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