MISION SUCRE

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA[pic 1]

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR

FUNDACION: MISION SUCRE

ALDEA: ESCUELA ESTADOS UNIDOS DE AMERICA

CALABOZO ESTADO GUÁRICO[pic 2]

NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES Y REALES

Facilitador:                                                                               Triunfador:    

  Ismael, Fuentes                                                                        Leslier, Díaz

Calabozo, octubre de 2019

ÍNDICE GENERAL

Pp.

INTRODUCCIÓN………………………………………………………… ……2

Números naturales        3

Propiedades de los números naturales        3

Axioma de Peano        6

Descomposición en factores primos        7

Máximo como un divisor y mínimo con un múltiplo        7

Números enteros        8

Características de los números enteros        9

La recta numérica        9

Valor absoluto        10

Operaciones con números enteros        13

Números racionales        16

Propiedades de los números racionales        17 Números reales        20

Propiedades de los números reales        20

Representación de los números reales         20

Conclusión        21

Referencias Bibliográficas         22

INTRODUCCIÓN

                  La Matemática es la ciencia que se ocupa de describir y analizar las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Si miramos a nuestro alrededor vemos que esos componentes están presentes en todos los aspectos de la vida de las personas, en su trabajo, en su quehacer diario, en los medios de comunicación entre otros. Las matemáticas son universales: Los resultados que se obtienen son aceptados por toda la comunidad internacional, lo que no quiere decir que los métodos que se han utilizado históricamente sean iguales.

                 En este sentido las primeras ideas de número aparecen en los albores de la civilización. Los antiguos babilonios y egipcios conciben alrededor del año 2000 a.C, una aritmética que ya utilizan fracciones. Con Pitágoras, en el año 525 a.C, los griegos descubren la necesidad de adoptar números irracionales, como √2. En el año 375 a.C Eudoxo (padre de la astronomía matemática) presenta la teoría de los inconmensurables para representar irracionales como límite de magnitudes racionales. Los números negativos, que aparecen en la solución de diferentes problemas, se consideran como absurdos, y solo se manejan libremente a partir del siglo XVII.

A continuación en el siguiente trabajo abordaremos los números que se clasifican en cuatro tipos principales: números naturales «N», números enteros «Z», números racionales «Q», números reales «R» (incluyen a los irracionales). En esta clasificación, cada tipo de número es subconjunto de otro mayor, empezando por los números naturales como grupo de números más simples hasta llegar a la clasificación de números reales, que sería el conjunto de números que incluiría los números irracionales con los números racionales.

NÚMEROS NATURALES

Para poder negociar y ordenar elementos, el hombre tuvo la necesidad de representar las cantidades de lo que poseía y así saber de qué disponía exactamente. De ahí surgió la idea de crear símbolos que representaran esas cantidades. Los números naturales designados por el símbolo “ℕ” son usados para contar los elementos de un conjunto. Todo número perteneciente a la serie ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,…} formada por todos los números que, a partir del cero (o ausencia del elemento), el uno inicia y sin término medio. Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal.

 Asimismo, entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas. La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES

Propiedades de la adición de Números Naturales

 La adición de números naturales cumple las propiedades asociativas, conmutativa y elemento neutro.

1.- Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumplen que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)

 2.-Conmutativa: Si a, b son números naturales cualesquiera se cumplen que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

3.- Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

         La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumplen que:

(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo:      

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

2.- Conmutativa: Si a, b son números naturales cualesquiera se cumplen que:

a · b = b · a

Por ejemplo:

5 · 8 = 8 · 5 = 40

3.-Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo:

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la sustracción de números naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuántas ovejas tenemos? Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta: La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Propiedades de la división de números naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un número de personas. Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el número que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

 Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

Características de los números naturales

1.        Todo número mayor que 1 (o mayor que 0 en caso de considerar el 0 como natural) va después de otro número natural.

2.        Entre dos números naturales siempre hay un número finito de naturales. (Interpretación de conjunto no denso)

3.        Dado un número natural cualquiera, siempre existe otro natural mayor que éste. (Interpretación de conjunto infinito).

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