MODELACIÓN MATEMÁTICA

Universidad Autónoma de Yucatán[pic 1][pic 2]

Unidad Académica Bachillerato con Interacción Comunitaria

MODELACIÓN MATEMÁTICA I

UNIDAD 2: APLICANDO FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

INICIO

Instrucciones: De manera individual y de forma no presencial, realiza cada uno de los siguientes apartados que a continuación se te indican:

1. Respondiendo las siguientes preguntas:

• ¿Qué es una variable independiente?
• ¿Qué es una variable dependiente?
• ¿Qué diferencia hay entre ellas?
• Menciona un ejemplo de la relación entre estas variables.

1. Analiza la siguiente situación y contesta lo que se te pide.

Una batería con 20% de su capacidad total se conecta a un cargador. Cada minuto que pasa, se carga un 2% adicional. [pic 3]

1. ¿Cuál es la variable independiente en esta situación? ¿qué representa?
2. ¿Cuál es la variable dependiente en esta situación? ¿qué representa?
3. Completa la siguiente tabla y relaciona a ambas variables

1.  Bosqueja la gráfica que represente la situación, asigna al eje  las variables independientes y al eje  las variables dependientes.[pic 4][pic 5]

[pic 6]

1. Expresa en forma algebraica (regla de correspondencia) la relación que existe entre la variable independiente y la variable dependiente.  

1. Realiza la siguiente lectura y analiza cada uno de los ejemplos resueltos que se te presentan en la misma.

[pic 7]

Una función es la regla de correspondencia que relaciona a dos o más variables. Es decir, es una relación entre dos variables de manera que, a cada valor de la primera, le corresponde un único valor en la segunda. A estas variables se les denomina:

• Variable independiente. Corresponde a la primera variable y se le suele asignar la letra .[pic 8]

• Variable dependiente. Es la que se deduce de la variable independiente y se le suele asignar con la letra , o como . [pic 9][pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Importante: No confundir la notación de intervalo con coordenadas en el plano.

[pic 13]

Una función  está constituida por: El dominio y el rango[pic 14]

[pic 15]

• El dominio de la función  es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente [pic 16][pic 17]
• El rango de la función  es el conjunto formado por los valores que puede tomar la variable dependente .[pic 18][pic 19]
• Una función es una relación que asigna a cada elemento del dominio uno y solo un elemento del rango.

Del ejemplo de la batería del teléfono celular (ejercicio inicial) se tiene, la función está definida por:

[pic 20]

Donde el primer miembro de la igualdad es el símbolo de función y el segundo miembro es la regla que asigna entre las variables dependiente e independiente.

El dominio son todos los valores que podemos sustituir en ella y el rango, son todos los posibles resultados que obtenemos de la sustitución.

Ejemplo:

1. Existe una relación entre el número de minutos que hablamos cuando realizamos una llamada desde un celular de prepago y el monto de dinero que debemos pagar. En cierta compañía, si habla un minuto debe pagar $80, si habla 2 minutos $160, y así sucesivamente. Determina la función que representa esta situación.

Solución:

Primero, debemos de identificar las variables que representan esta situación y que relacionan para formar la función:

• Variable independiente : número de minutos al hablar[pic 21]
• Variable dependiente : Cantidad o monto a pagar a la compañía. Ya que depende de la cantidad de minutos que se hable.[pic 22]

Al representar esta función tenemos:

[pic 23]

Si se analiza el dominio de esta función, es decir el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, nos debemos centrar en lo que esta variable representa, en este caso, el número de minutos. Esto implica que  solo puede tomar los valores positivos y el cero, por lo tanto, el  [pic 24][pic 25]

Si se analiza el rango de esta función, los valores que puede tomar la variable dependiente , éstos serán positivos, debido a que  se obtendrá que multiplicar 80 por . Por lo tanto, el [pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

[pic 30]

Una función lineal es aquella que puede ser representada por una ecuación de la forma:

,[pic 31]

Donde

• : variable independiente.[pic 32]
• : variable dependiente (su valor depende del valor de ).[pic 33][pic 34]
• : pendiente o razón de cambio.[pic 35]
• : corte con el eje , u ordenada de origen.[pic 36][pic 37]

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo rango también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.  

Algunos ejemplos de funciones lineales y no lineales:

[pic 38]

Cuando el valor de la pendiente (m) es igual a 0, nos encontramos ante un caso particular de la función lineal, que tiene el nombre de función constante.

Recuerda que, si se grafica una función lineal, siempre se obtiene una recta. Veamos la gráfica de la función    

y = 2x + 1.

[pic 39]

Razón de cambio de la función lineal

Veamos ahora la relación que existe entre la pendiente y el comportamiento de la función lineal.[pic 40]

Podemos apreciar que, de acuerdo con el valor de la pendiente m (inclinación respecto al eje X), la función lineal puede ser:

• Si m es positiva (m > 0), entonces la función es creciente.
• Si la m es negativa (m < 0), entonces la función es decreciente.
• Si en la función lineal  entonces se obtiene una función constante  que estaría representada por una recta horizontal.[pic 41][pic 42]

Si en la función lineal  y  se obtiene la función identidad .[pic 43][pic 44][pic 45]

Recordar: 

Para calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos   y  se utiliza:[pic 46][pic 47]

[pic 48]

Para determinar la ecuación de una recta se requiere de un punto por donde pasa y la pendiente de ésta y se emplea el modelo:

[pic 49]

Ejemplo:

Grafica la función   y determina los puntos de intersección con los ejes coordenados.[pic 50]

Para graficar la función, utilizando el método gráfico, en el cual reemplazamos valores de  en la función, para obtener el valor de , y con ello obtener las coordenadas por donde pasa la recta. Es decir: [pic 51][pic 52]

...