Modelacion Matematica

La Modelación Matemática:

alternativa didáctica en la enseñanza de precálculo

Dr. Orlando Planchart Márquez, UIPR-Ponce

Resumen

En el presente trabajo se analiza, primeramente, la problemática y el significado del proceso de aprendizaje relacionado con los sistemas de representaciones que conducen a la modelación de las funciones en cursos de precálculo. En segundo lugar, se identifican algunos obstáculos que surgen al momento de cambiar de registros semióticos del concepto en estudio. Por último, mediante un proceso de reflexión, se proponen actividades de simulación y modelación como una alternativa para integrar distintas representaciones de las funciones en los cursos de precálculo y mejorar la enseñanza en este nivel. Se incluyen las conclusiones de un trabajo de investigación (Planchart, 2002) en el cual se analizaron entrevistas y resultados de actividades de simulación y modelación que condujeron a la construcción de modelos geométrico-dinámico, tabular-numérico, gráfico y algebraicos.

Introducción

La resolución de problemas con información y datos recolectados de fenómenos físicos adquiere día a día mayor auge como alternativa de enseñanza en los salones de clases. Las corrientes contextualitas han contribuido a integrar otras áreas (estadística, geometría, modelación y simulación matemática, etc.) en los cursos de Precálculo y Cálculo. Se ha observado que, durante las últimas décadas, se han incorporado nuevas estrategias en la enseñanza de las funciones y herramientas tecnológicas en el salón de clases.

El contenido sobre funciones cubre gran parte del contenido del curso de precálculo, este concepto permite desarrollar el proceso de la simulación y modelación desde situaciones física y geométrica, lo que también permitirá que se puedan exponer conocimientos matemáticos en forma ágil y atractiva a los estudiantes. Hitt (2000) señaló que “a través de las funciones podemos modelar matemáticamente un fenómeno de la vida real, describir y analizar relaciones de hechos sin necesidad de hacer a cada momento una descripción verbal o un cálculo complicado de cada uno de los sucesos que estamos describiendo”.

La modelación relacionada con sistemas de representaciones integra: símbolos, signos, figuras, gráficas y construcciones geométricas. Éstos expresan el concepto y suscriben en sí mismos el modelo con el cual es posible interpretar y predecir comportamientos de fenómenos físicos. La simulación y la modelación son representaciones de un objeto matemático que está vinculado a una situación física o real. Cuando se logra la simulación matemática en el salón de clase, pueden rescatarse ideas intuitivas que la matemática formal excluye cuando se transita de lo concreto a lo abstracto en la enseñanza del conocimiento matemático. Una simulación es un intento por imitar o aproximarse a algo; por su parte, modelar significa construir una representación de algo. La diferencia semántica reside en que un modelo es una representación de estructuras, mientras que una simulación infiere un proceso o interacción entre las estructuras del modelo para crear un patrón de comportamiento (Steed M, 1991. p.39). El término modelo se refiere a la generalización conceptual que se abstrae de un grupo de experiencias con el propósito de categorizar y sistematizar nuevas experiencias (Von Glasersfeld & Steefe, 1987, citado en Steefe, 1991, p.190).

Se puede evidenciar que las actividades de simulación y de modelación que se desarrollan con los estudiantes serán efectivas en el logro del concepto matemático. Además, pueden motivar a quiénes en el proceso de simular y modelar construyen el concepto y éste adquiere sentido para ellos. Ball & Wittrok (1973) [citados en Castro y Castro, 1997, p. 104] señalaron que "Los sujetos que han dibujado por sí mismos un diagrama para la formación de un concepto, recordarán dicho concepto con mayor significación que cuando se les ha proporcionado el dibujo".

Cuando se modelan situaciones reales u otras que se enmarcan en el proceso cognitivo de la adquisición del concepto de función, se provoca que el estudiante, al aproximarse a fenómenos reales, analice y describa los siguientes elementos matemáticos: la significación de objetos: simbólicos, verbales, gráficos, algebraicos y numéricos. En el proceso de simulación y de modelación se produce la distinción de variables y la relación entre las variables, los cuales a su vez impulsa la construcción de otros registros de representación. Monk (1992) consideró que los modelos físicos proveen a los estudiantes una visión del procesamiento de la situación funcional, la cual puede ampliar en éstos las perspectivas que tienen acerca de las funciones.

En este sentido, se considera que la enseñanza se dirige a planteamientos más dinámicos en la adquisición del conocimiento. Por lo tanto, la simulación y la modelación son alternativas de transferencia dinámica del conocimiento desde situaciones físicas y geométricas hasta la estructuración mental en el proceso de aprendizaje. La simulación y la modelación matemáticas, la matemática en contexto y la incorporación de la nueva tecnología pueden fortalecer el proceso enseñanza-aprendizaje. Los procesos matemáticos son complicados en término de aislar el problema que se esté tratando dentro de un contexto. Sin embargo, en la década pasada y lo que va de ésta, una corriente de investigadores impulsa el uso de las matemáticas planteadas desde contextos reales en la adquisición de conceptos. La simulación de fenómenos físicos a través del uso de la microcomputadora es imprescindible para la generación de procesos de la mate matización y formación de conceptos, Hitt (1993, p.13).

La situación del concepto de función en el entorno de la modelación

Los autores de la mayoría de los textos de Precálculo presentan el tema de las funciones tomando como referencias situaciones de correspondencias que se dan en el contexto físico-real. En el ámbito matemático, esta relación se considera como una clase de correspondencia llamada función. La definición de este concepto, en muchas ocasiones, se reduce a establecer la relación entre dos cantidades. Callahan & Hoffman (1995) afirman que: “Una función describe cómo una cantidad depende de otra”. De forma general este concepto se presenta en tres modalidades: como una relación con lo físico-real, como representaciones y como definiciones. La utilidad de las funciones y el estudio con distintas representaciones llevan a reflexionar sobre el potencial didáctico que se tiene cuando se aborda la realidad con determinados esquemas mentales o modelos matemáticos o a través de una simulación del problema real.

Como se mencionó anteriormente, las estrategias que se utilizan para aprender matemáticas a partir de situaciones y fenómenos del mundo físico han cobrado fuerza en los últimos años. Éstas incluyen interpretar la realidad a partir de la identificación de las variables participantes, la recolección de datos que se generan en las situaciones reales o simuladas y modelación de las situaciones. La perspectiva correcta se da principalmente a partir del medio ambiente hacia las matemáticas y no en la otra dirección. No: primero hacer las matemáticas y después regresar al mundo real, sino el mundo real primero, y después la mate matización. El mundo real ¿qué significa? perdonen esta expresión descuidada. Al enseñar a mate matizar el ‘mundo real’ está representado por un contexto significativo que involucra un problema matemático. ‘Significativo’ por supuesto quiere decir significativo para quienes aprenden. Las matemáticas deberían ser enseñadas dentro de contextos y a mí me gustaría que las matemáticas más abstractas fueran enseñadas dentro de los contextos más concretos, Freundental (1980, p. 20).

El concepto de función responde a diferentes definiciones y etapas históricas. Las definiciones han sido alteradas conforme a los avances tecnológicos que se han promovido en la enseñanza de la matemática (calculadoras gráficas, paquete de programación de instrucción interactiva, entre otro). En este sentido, Hitt y Torres (1994) incluyen en su trabajo cuatro definiciones. La definición dada en términos de variables que señala que: “cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de la segunda”. Muy distinta a la ofrecida en términos de conjunto de pares ordenados: “una función es un conjunto de pares ordenados de elementos tales que ningunos dos pares ordenados tienen tiene el mismo primer elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio y el conjunto de los segundos elementos rango de la función”. La definición como una regla de correspondencia se explica de la siguiente manera: “una función f de un conjunto A un conjunto B es una regla de correspondencia que asignan a cada valor de x de cierto subconjunto D de A un elemento determinado de manera única f(x) de B”. Y por último, la definición en términos de máquina, más acorde con los tiempos: “una función es un procedimiento P que toma una o más entradas que salidas, y que tiene la propiedad de que cualesquiera dos llamadas a P con las misma entrada regresa a la misma salida". Dubinsky, Schwingendorf &

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