MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO
aeaeaeaeaeaExamen1 de Octubre de 2022
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MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO
El muestreo aleatorio estratificado con afijación simple es una técnica de muestreo en el cual quien investiga divide la población en diferentes estratos para luego seleccionar de cada estrato a los elementos de la muestra final. En este caso a cada estrato le corresponde el mismo numero de elementos de la muestra.
PROBLEMA DE APLICACIÓN
Considérese la variable X: ingreso anual en miles de soles. La variable se mide sobre una población de 870 trabajadores en una empresa determinada obteniéndose la distribución de frecuencias que se muestra en la tabla que sigue:
X | 2 | 3 | 4 | 7 | 10 | 12 | 16 | 20 | 25 | 30 | 35 | 50 | 60 | 100 |
[pic 1] | 20 | 30 | 60 | 100 | 150 | 200 | 120 | 80 | 50 | 20 | 18 | 10 | 8 | 4 |
ESTRATO I | ESTRATO II | ESTRATO III |
La finalidad es establecer pautas para encuestas posteriores de ingresos de los trabajadores de dicha empresa clasificando la población en tres estratos según los criterios dados por:
2≤X≤7 10≤X≤25 30≤X≤100
Se quiere calcular el tamaño de muestra para cada estrato sabiendo que se tiene una muestra de 100 trabajadores.
CASO I: MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO CON AFIJACION SIMPLE.
El muestreo con afijación simple consiste en que el número de elementos por cada estrato son iguales.
SOLUCION
De las condiciones del problema se puede construir la siguiente tabla:
ESTRATOS [pic 2][pic 3]
2≤X≤7 210 33
10≤X≤25 600 33
30≤X≤100 60 34
Aquí: ++=210+600+60=870 [pic 4][pic 5][pic 6]
De acuerdo al problema se encuentra que: =33,33[pic 7]
CASO II: MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO CON AFIJACION PROPORCIONAL
El muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional es una técnica de muestreo que consiste en asignar a cada estrato un número de unidades muestrales proporcional a su tamaño.
Si el tamaño es proporcional al tamaño del estrato entonces, significa que existe una constante k positiva tal que:
n=KN de donde se obtiene que K= que se conoce como fracción de muestreo.[pic 8]
Si esto lo llevamos para resolver el problema descrito se tiene que:
100=870K entonces K= de donde se obtiene que:[pic 9]
[pic 10][pic 11][pic 12]
210=24 600=69 60=7[pic 13][pic 14][pic 15]
++=210+600+60=870 =N[pic 16][pic 17][pic 18]
Si sumamos ++=24+69+7=100=n[pic 19][pic 20][pic 21]
Este tipo de muestreo es mucho mas eficaz que el muestreo aleatorio estratificado con afijación simple y por tanto mas recomendable para cuando los estratos no son del mismo tamaño.
CASO III: MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO CON AFIJACION DE NEYMAN
La afijación de Neyman consiste en determinar los valores de de tal manera que para un tamaño de muestra fijo n la varianza de los estimadores sea mínima. La afijación de cada estrato y los estimadores respectivos se basa en la teoría de los estimadores de Lagrange que nos otorga la siguiente formula:[pic 22]
=n [pic 23][pic 24]
Es necesario indicar que en este caso se asume que los costos son iguales.
De acuerdo al problema se debe construir las tablas de cada uno de los estratos considerados en el estudio para estimar los parámetros de cada uno de ellos.
TABLA ESTRATO I: 2≤X≤7
[pic 25] | [pic 26] | [pic 27] |
2 | 20 | 40 |
3 | 30 | 90 |
4 | 60 | 240 |
7 | 100 | 700 |
TOTAL | 210 | 1070 |
=5,09 y =3,6273[pic 28][pic 29]
=[pic 30][pic 31]
TABLA ESTRATO II: 10≤X≤25
[pic 32] | [pic 33] | [pic 34] |
10 | 150 | 1500 |
12 | 200 | 2400 |
16 | 120 | 1920 |
20 | 80 | 1600 |
25 | 50 | 1250 |
TOTAL | 600 | 8670 |
=14,45 y =20,8493 [pic 35][pic 36]
TABLA ESTRATO III: 30≤X≤100
[pic 37] | [pic 38] | [pic 39] |
30 | 20 | 600 |
35 | 18 | 630 |
50 | 10 | 500 |
60 | 8 | 480 |
100 | 4 | 400 |
TOTAL | 60 | 2610 |
=43,5 y =344,3220[pic 40][pic 41]
La formula requiere calcular:
= = +=4253,16[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]
==100===9[pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]
==100===65[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]
==100===26[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]
CASO IV: MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO CON AFIJACION OPTIMA
Este método consiste en extraer los de cada uno de los estratos de tal manera que para un costo fijo “C” la varianza de los estimadores sea mínima. El “C” es la suma de los costos por tanto el costo de selección de las unidades en cada estrato esta dado por de tal forma que si se suma los costos para los estratos en estudio se obtiene el costo total de la selección de la muestra estratificada. También la formula se obtiene utilizando los multiplicadores de Lagrange y está dado por:[pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]
=n[pic 66][pic 67]
Si se toma los datos del problema en estudio y se sabe que los costos son
=1 =16 y =25 se tiene los siguientes resultados:[pic 68][pic 69][pic 70]
=100=31[pic 71][pic 72]
=100=52[pic 73][pic 74]
=100=17[pic 75][pic 76]
Si se suman las muestras de cada estrato se obtiene la muestra total del trabajo a realizar.
PROBLEMA: En el distrito de Viru, en el Norte del país habitan 7000 varones adultos, 8000 mujeres adultas y 5000 niños. Se quiere seleccionar una muestra de 800 personas utilizando el muestreo mas adecuado. ¿Cuál será el tamaño de cada estrato?
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