Tipos de muestreo: Aleatorio sistematizado, estratificado, y conglomerado

INDICE

TEMA PAG.

UNIDAD 4

MUESTREO

INTRODUCCION ……………………........................................ 3

4.1

Definicion de muestreo ……………………........................................ 4

4.1.1

Tipos de muestreo: Aleatorio sistematizado, estratificado, y conglomerado

……………………........................................

5

4.2

Concepto de distribución de muestreo de la media ……………………........................................ 5

4.2.1

Distribución muestral de la media con varianza conocida y desconocida

……………………........................................

5

4.2.2

Distribución muestral de la diferencia entre 2 medias con varianza conocida o desconocida

……………………........................................

7

4.2.3

Distribución de la proporción ……………………........................................ 8

4.2.4

Distribución muestral de la diferencia de 2 proporciones

……………………........................................

9

4.3

Teorema de limite central ……………………........................................ 13

4.4

Tipos de estimaciones y características ……………………........................................ 15

4.5

Determinación del tamaño de la muestra de la población

……………………........................................

17

4.6

Intervalos de confianza para la media, con el uso de la distribución

……………………........................................

18

Conclusión ……………………........................................ 20

Bibliografía ……………………........................................ 20

INTRODUCION:

En este trabajo definiremos el muestreo, los tipos de muestreo aleatorio, sistematizado estratificado y conglomerado

En este trabajo el objetivo principal de la estadística en el muestreo, esto es que mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las conclusiones al total de la misma. Como vimos en la sección, los estadísticos varían mucho dentro de sus distribuciones muestrales, y mientras menor sea el error estándar de un estadístico, más cercanos serán unos de otros sus valores.

Existen cuatro tipos de muestreo, aleatorio, sistematizado, estratificado y conglomerado. Obtener por medio de los estadígrafos (media y varianza) los parámetros poblacionales para poder determinar la distribución

Suponga que la tabla siguiente muestra la antigüedad en años en el trabajo de tres maestros universitarios de matemáticas:

Maestro de matemáticas Antigüedad

A 6

B 4

C 2

Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin remplazo. Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar de la distribución muestral.

Solución:

Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras posibles de tamaño 2, con sus respectivas medias muestrales.

Muestras Antigüedad Media Muestral

A,B (6,4) 5

A,C (6,2) 4

B,C (4,2) 3

La media poblacional es:

La media de la distribución muestral es:

La desviación estándar de la población es:

El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es:

Si utilizamos la fórmula del error estándar sin el factor de correción tendriamos que:

Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Agregando el factor de corrección obtendremos el valor correcto:

El diagrama de flujo resume las decisiones que deben tomarse cuando se calcula el valor del error estándar:

Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simétrica.

Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente fórmula:

En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual a uno. Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribución z.

Sabemos que cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30 o bien de cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestral de medias tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar la formula de la distribución normal con y , entonces la fórmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la media de la muestra , quedaría de la siguiente manera:

y para poblaciones finitas y muestro con reemplazo:

Ejemplo:

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

Solución:

Este valor se busca en la tabla de z

La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.

Ejemplo:

Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine:

a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros.

b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

Solución:

Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.

a.

(0.7607)(200)=152 medias muestrales

b.

(0.0336)(200)= 7 medias muestrales

La distribución es aproximadamente normal para n1 30 y n2 30. Si las poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tamaños de las muestras.

En ejercicios anteriores se había demostrado que y que , por lo que no es difícil deducir que y que .

La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es:

Ejemplo:

En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.

Solución:

Datos:

1 = 100 libras

2 = 85 libras

1 = 14.142 libras

2 = 12.247 libras

n1 = 20 niños

n2 = 25 niñas

= ?

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056.

Ejemplo:

Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos

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