Manual de factorización
Sofia GonzalezTarea10 de Agosto de 2016
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INDICE
Tema Página
Caso I: Factor común……………………………………………………………………… 3
Caso II: Factor común por agrupación de términos…………………………………….. 4
Caso III: Trinomio cuadrado perfecto…………………………………………………….. 5
Caso IV: Diferencia de cuadrados………………………………………………………… 6
Caso V: Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción………………………. 6
Caso VI: Trinomio de la forma x2+bx+c………………………………………………….. 7
Caso VII: Trinomio de la forma ax2+bx+c…………………………………………... 8
Caso VIII: Cubo perfecto de binomios……………………………………………………. 9
Caso IX: Suma o diferencia de cubos perfectos………………………………………… 10
Caso X: Suma o diferencia de dos potencias iguales…………………………………... 11
CASO I: FACTOR COMÚN MONOMIO.[pic 2]
PROCEDIMIENTO.
1) Se encuentra un factor que divida a ambos monomios.
2) Se encuentra el factor común de las letras, que es el de menor exponente que divida a los monomios.
3) Si los coeficientes no tienen un factor común, pero si un factor común las letras, se copian dentro del paréntesis, los mismo coeficientes.
4) Si las letras no tienen un factor común, pero si hay factor común de los coeficientes, se copian dentro del paréntesis las mismas letras.
Ejemplos.
1) Descomponer en factores a^2 +2a = a(a +2)
En este caso se encuentra el factor común de los monomios a^2 y 2a; y este es “a”; luego se escribe entre paréntesis los factores (a) y (2) que multiplicados por el factor común (a), den como resultado los monomios dados originalmente.
Factor común: a porque a(a) = a^2 y a(2) = 2a
la solución es: a(a +2)
Ejercicios [pic 3]
19) a^-a^2x+ax^2 = fc =a
= A(a^2-ax+x^2) solución
25) a^2b^2c^2-a^2c^2+a^2c^2y^2
= a^2c^2(b^2-x^2+y^2) solución
32) 9a^2-12ab+15a^3b^2-24ab^3
= 3a( 3ª-4b+5a 2b2-8b3) solución
[pic 4]
CASO II: FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.
Procedimiento:
1) Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común, separados los grupos por el signo del primer término de cada grupo.
2) La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupen tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales.
3) Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común Polinomio.
Ejemplos:
EJERCICIO 91.[pic 5]
Factorar o descomponer en factores:
1) a^2+ab+ax+bx = (a+b)(a+x)
= (a^2+ab)+(ax+bx)
= a(a+b)+x(a+b)
= (a+b)(a+x) Solución
2) am-bm+an-bn = (a-b)(m+n)
= (am-bm)+(an-bn)
= m(a-b) +n(a-b)
= (a-b)(m+n) Solución.
3) ax-2bx-2ay+4by = (a-2b)(x-2y)
= (ax-2bx)-(2ay-4by)
= (a-2b)-2y(a-2b)
= (a-2b)(x-2y) Solución.
CASO III: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO[pic 6]
Procedimiento:
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto:
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer términos tienen raíz cuadrada exacta y positiva, y el segundo término es el doble del producto de sus raíces cuadradas.
Ejemplo: a^2-4ab+4b^2 es cuadrado perfecto porque:
Raíz cuadrada de a^2 = a
Raíz cuadrada de 4b^2 = 2b
Y el doble producto de estas raíces es 2(a)(2b) = 4ab
Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto:
Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término del trinomio.
El binomio que se forma, que son las raíces cuadradas del trinomio, se multiplica por sí mismo o sea se eleva al cuadrado.
Ejercicios [pic 7]
1) A^2 -2ab +b^2 = (a -b) ^2
= (a -b)^2 Solución
2) a^2 +2ab +b^2 = (a +b)^2
= (a+b) ^2 solución
3) x^2-2x+1 = (x -1)^2
= (x-1) ^2 solución
CASO IV: DIFERENCIA DE CUADRADOS[pic 8]
Forma general: [pic 9]
[pic 10]
Características:
-Binomio
-Resta
-Los dos términos deben ser cuadrados perfectos
Procedimientos:
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces.
Ejemplos:[pic 11]
- [pic 12]
- [pic 13]
- [pic 14]
[pic 15]
CASO V: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN O SUSTRACCIÓN
Forma general:[pic 16]
[pic 17]
Procedimientos:
Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.
Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto. Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera:
Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio.
Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos.
Ejemplos:[pic 18]
- [pic 19]
[pic 21][pic 20]
=[pic 22]
=[pic 23]
[pic 24]
- [pic 25]
[pic 27][pic 26]
=[pic 28]
=[pic 29]
[pic 30]
- [pic 31]
[pic 33][pic 32]
=[pic 34]
=[pic 35]
[pic 36]
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CASO VI: TRINOMIO DE LA FORMA X2+BX+C
Forma general: [pic 38]
x2+bx+c
Características:
-El coeficiente del primer término es 1
-El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado
-El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
-El segundo término es una letra independiente del primer y segundo término, y es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
Procedimiento:
El trinomio se descompone en 2 binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio. Se buscan dos números que sumados me den el número del segundo término y multiplicados me den el número del tercer término. Y se colocan después de la x como en los ejemplos.
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