Matematica

DERIVADA

Derivación mediante la regla de los 4 pasos

Ejercicio resuelto mediante la derivación de los 4 pasos. Empecemos con la primera ecuación que será lineal.

Ejemplo 1: Y = x3 + 2x2 – 3x – 1

Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.

Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1

Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original.Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.

Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1

Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1

Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1

∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x

Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)

∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3

Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)

∆y/∆x = 3x2 + 3x[0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3

∆y/∆x = 3x2 + 4x – 3

Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.

1.- CONCEPTO

Hasta aquí nos hemos referido a la derivada de una función y=f(x) en un punto x = a de su dominio; el resultado es un número real, por tratarse de un valor límite

Consideremos la función y = 50t-5t2 que representaba la posición vertical de una bola lanzada desde el suelo hacia arriba en función del tiempo. El dominio de definición es el intervalo [0,10] ya que no tiene sentido hablar de posiciones por debajo del nivel del suelo; el instante inicial es t=0 segundos (cuando es lanzada) y el final es t=10 segundos (cuando llega al suelo de caída).

Podemos observar que en cada instante t la bola tiene asociada una variación instantánea (su velocidad) que es la derivada f '(t)

Existe una aplicación entre la variable t perteneciente a [0,10] y f '(t). Esta aplicación es una nueva función que convenimos en escribir y' = f '(t) y llamamos función derivada de y = f(t).

El siguiente es un cuadro de algunos valores de esta función:

t 0 2 4 6 8 10

f '(t) 50 30 10 -10 -30 -50

La escena siguiente representa la gráfica de la función y=50t-5t2, altura-tiempo, de una bola lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo y la gráfica de su función derivada y' = 50 -10t, velocidad-tiempo, que permite calcular para cada instante de tiempo t la variación instantánea de la altura (velocidad).

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2.DOMINIO DE DERIVABILIDAD

También sabemos que es posible que la derivada de una función en un punto, no exista, en cuyo caso decimos que la función no es derivable en ese punto.

Decimos que una función es derivable en un intervalo abierto (x1,x2) de su dominio si lo es en cada uno de sus puntos. En general el conjunto de puntos donde la función es derivable constituye su dominio de derivabilidad.

Hay que observar que el dominio de derivabilidad de una función puede no coincidir con el dominio de la función. O dicho de otra forma, el dominio de la función f(x) puede no coincidir con el dominio de la función derivada f ´(x).

EJEMPLO: Consideremos la función valor absoluto de x que queda definida de la siguiente manera:

El dominio de y=f(x) es R (conjunto de números reales) mientras que el dominio de y´ es R - {0}puesto que en x=0 la función f(x) presenta un punto anguloso y la pendiente por la izquierda no coincide con la pendiente por la derecha.

La gráfica de la función derivada es:

Pues la pendiente de f(x) es constante y vale tg(45º)=+1 para x>0 y es constante y vale tg(135º)=-1 para x<0. En x = 0 no está definida la función derivada.

DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES POLINÓMICAS

En las escenas anteriores las funciones f(x) eran polinómicas y habrás observado:

a. Que el dominio de derivabilidad es el mismo que el de la función.

b. La función derivada es también polinómica y un grado menor.

Si f(x) e una función polinómica de grado n resulta que la derivada f ' (x) es de grado n-1

OTRAS FORMAS DE DESIGNAR LA DERIVADA

La función derivada de f(x) normalmente se designa por f´(x) como hemos hecho hasta ahora. Otras formas usadas son df(x)/dx o Dx[f(x)] que se lee como "derivada de la función f(x) respecto de x". EXPERIMENTA:

1.- Observa la altura y la velocidad de la bola (derivada) en los siguientes instantes: t=1,5 ; t=5; t=10

2.- Determina dos instantes de tiempo para los que la altura de la bola es la misma f(t)=80. ¿Cuál es la derivada en cada uno de estos instantes? ¿Qué significa este resultado?

3.- Observa que cuando la función es creciente (la bola sube), la derivada es positiva y cuando la función es decreciente (la bola baja) la derivada es negativa.

4.- Observa que en la altura máxima la función pasa de ser creciente a ser decreciente y la derivada se hace cero.

5.- Cuales son los dominios de definición de f(t) y f '(t)

En la siguiente

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