Matematicas Especiales

Matematicas especiales

Ejercicios de transformada inversa de Laplace

1)

L^(-1) {(4s-18)/(9-5^2 )-(3s-12)/(s^2+18) }

Solución

Se aplica la propiedad de linealidad

L^(-1) {(4s-18)/(-(s^2-9) )}- L^(-1) {(3s-12)/(s^2+18)}

=-4L^(-1) {s/s^(2-9) }+18L^(-1) {1/s^(2-9) }-3L^(-1) {s/(s^2 (√18)2)}+12 L^(-1) {1/s^2 +(√18)2}

=-4cosh3t + 18 (senh(3t)/3)-3cos (√18t)+12 (sen(√18t)/√18)

=-4cosh3t + 6senh(3t) - 3cos(√18t)+4/√2 sen√18 t

=-4cosh3t + 6senh(3t) – 3cos(√18t)+2√2 sen√18t R/

2)

L^(-1) {(s^2-3)/(s^2-s-6)(s^2+2s+5) }

Solucion

Se expresa la fraccion en terminos de fracciones parciales

(s^2-3)/(s^2-s-6)(s^2+2s+5) =(s^2-3)/(s-3)(s+2)(s^2+2s+5)

=A/(s-3)+B/(s+2)+(Cs+D)/(s^2+2s+5)

s^2-3=A(s+2)(s^2+2s+5)+B(s-3)(s^2+2s+5)+(Cs+D)(s-3)(s+2)

s^2-3=A(s^3+2s^2+5s+2s^2+4s+10)+B(s^3+〖2s〗^2+5s-〖3s〗^2-6s-15)+(Cs+D)(s^2-5-6)

s^2-3=〖As〗^3+4As^2+9As+10A+Bs^3-Bs^3-〖Bs〗^2-Bs-15B+Cs^3-〖Cs〗^2-6Cs+Ds^2-Ds-6

s^2-3=(A+B+C) S^3+(4A-B-C-D) S^2+(9A-B-6C-D)S+(10A-15B-6D)

A+B+C=0 (1)

4A-B-C+D=1 (2)

9A-B-6C-D=0 (3)

10A-15B-6D=-3 (4)

A= (s^2-3)/((s+2)(s^2+2s+5))=6/((5)(9+6+5))=6/100=3/50 A=3/50

A= (s^2-3)/((s-3)(s^2+2s+5))=1/((-5)(4-4+5))=-1/25 B=1/25

En la ecuacion (1) se reemplazan los valores de A y B para obtener C.

3/50-1/25+C=0 = C=1/25-3/50= C=-1/50

En la ecuación (3) reemplazamos y se obtiene D

9A-B-6C-D=0 = 9(3/50)-(-1/25)-6(-1/50)-D=0

27/50+1/25+6/50=D=35/50=D=7/10

Por tanto la fracción algebraica queda:

(s^2-3)/(s-3)(s+2)(s^2+2s+5) =(3/50)/(s-3)+(-1/25)/(s+2)+(-1/50 s+7/10)/(s^2+2s+5)

Por tanto

L^(-1) {(s^2-3)/(s-3)(s+2)(s^2+2s+5) }=L^(-1) {(3/50)/(s-3) - (1/25)/(s+2)+(-1/50 s+7/10)/(s^2+2s+5)}

Se aplica la propiedad de linealidad

=3/50 L^(-1) {1/(s-3)}-1/25 L^(-1) {1/(s+2)}-1/50 L^(-1) {s/((s^2+2s+1)+5-1)}+7/10 L^(-1) {1/((s+1)2+4)}

=3/50 ℮^3t-1/25 ℮^(-2t)-1/50 L^(-1) {((s+1)-1)/((s+1)2+4)}+7/10 ℮^(-t) ((sen 2t)/2)

=3/50 ℮^3t-1/25 ℮^(-2t)+7/20 ℮^(-t) sen2t-1/50 L^(-1) {(s+1)/((s+1)2+4)}+1/50 L^(-1) {1/((s+1)2+4)}

=3/50 ℮^3t-1/25 ℮^(-2t)+7/20 ℮^(-t) sen2t-1/50 ℮^(-t) cos2t+1/50 (sen2t/2).℮^(-t)

=3/50 ℮^3t-1/25 ℮^(-2t)+℮^(-t) [7/20 sen2t-1/50 cos2t+1/100 sen2t]

=3/50 ℮^3t-1/25 ℮^(-2t)+℮^(-t) [7/20 sen2t-1/50 cos2t]

3)

L^(-1) {(5s-2)/(〖3s〗^2+4s+8)}

Solución

L^(-1) {(5s-2)/(〖3s〗^2+4s+8)}=L^(-1) {5s/(〖3s〗^2+4s+8)}-2L^(-1) {1/(〖3s〗^2+4s+8)} =se aplica la propiedad de linealidad

=5L^(-1) {s/(3(s^2+4/3 s+8/3)}-2L^(-1) {1/(3(s^(2+4/3 s+8/3)) )}

=5/3 L^(-1) {s/(〖(s〗^2+4/3 s+((4/3)/2)2)8/3-4/9)}-2/3 L^(-1) {1/((s+2/3)2+20/9)}

=5/3 L^(-1) {s/((s+2/3)2+20/9)}-2/3 L^(-1) {1/((s+2/3)2+20/9)}

=5/3 L^(-1) {s/((s+2/3)2+((2√5)/3)2)}-2/3 L^(-1) {1/((s+2/3)2+((2√5)/3)2)}

=5/3 L^(-1) {((s+2/3)-2/3)/((s+2/3)2+((2√5)/3)2)}-2/3 ℮^(-2/3 t) (sen((2√5)/3)t/(((2√5)/3) ))

=5/3 L^(-1) {(s+2/3)/((s+2/3)2+((2√5)/3)2)}-5/3.2/3 L^(-1) {1/((s+2/3)2+((2√5)/3)2)}-2/3.3/(2√5) ℮^(-2/3 t).sen (2√5)/3

=5/3 ℮^(-2/3 t) cos((2√5)/3 t)-10/9 ℮^(-2/3 t).(sen((2√5)/3 t)/(3/2 √5))-√5/s ℮^(-2/3 t) sen((2√5)/3 t)

=5/3 ℮^(-2/3 t) cos((2√5)/3 t)-10/9.3/(2√5) ℮^(-2/3 t) sen(sen (2√5)/3)-√5/s ℮^(-2/3 t) sen((2√5)/3 t)

=5/3 ℮^(-2/3 t) cos((2√5)/3 t)-√5/s ℮^(-2/3 t) sen((2√5)/3 t)-√5/s ℮^(-2/3 t).sen((2√5)/3 t)

=5/3 ℮^(-2/3 t) cos((2√5)/3 t)-8/15 ℮^(-2/3 t).sen((2√5)/3 t)

=1/3 ℮^(-2/3 t) [5cos((2√5)/3 t)-8/5 sen((2√5)/3 t)] R/

4)

L^(-1) {(s^2-2s+3)/(s-1)(s^2-1) }

Solución

L^(-1) {(s^2-2s+3)/(s-1)(s^2-1) }=L^(-1) {(s^2-2s+3)/(s-1)2(s+1)(s-1) }=L^(-1) {(s^2-2s+3)/(s-1)2(s+1) }

Se expresa la expresión algebraica en fracciones parciales para aplicar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace

(s^2-2s+3)/((s-1)2(s+1))=A/(S-1)2+B/(S-1)+C/(S+1)

Se realiza la suma de las fracciones y se igualan los numeradores

S^2-2s+3=A(s+1)+B(s-1)+C(s-1)2

S^2-2s+3=As+A+Bs^2-B+Cs^2-2Cs+C

S^2-2s+3=(B-C) s^2+(A-2C)s+(A-B+C)

Igualando coeficientes

B-C=1 (1)

A-2C=-2 (2)

A-B+C=3 (3)

Para hallar C se emplean los siguientes limetes:

A= (s^2-2s+3)/((s+1) ) =A=(1-2+3)/2 =A=1

C= (s^2-2s+3)/((s+1) ) =C= (1+2+3)/4 = C=6/4 C=3/2

En la ecuacion (1): B=1+C = B1+3/2 = B 5/2

De la euacion (1) se halla B:

B+C=1 = B=1-C =B=1-3/2=B=-1/2

Por tanto la fracción algebraica queda:

(s^2-2s+3)/(s-1)2(s+1) =1/(s-1)2+(-1/2)/(s-1)+(3/2)/(s+1)

Ahora se halla la transformada de Laplace

L^(-1) {(s^2-2s+3)/(s-1)2(s+1) }=L^(-1) {1/(s-1)2-(1/2)/(s-1)+(3/2)/(s+1)} se aplica porpiedad de linealidad

=L^(-1) {1/(s-1)2}-1/2 L^(-1) {1/(s-1)}+3/2 L^(-1) {1/(s+1)}

=℮^t t-1/2 ℮^t (1)+3/2 ℮^(-t) (1)

L^(-1) {(s^2-2s+3)/(s-1)2(s-1) }=℮^t (t-1/2)+3/2 ℮^(-t) R/

5)

L^(-1) {(3s-8)/(s^2+4)-(4s-24)/(16-s^2 )}

Solución

Se aplica la propiedad de linealidad

L^(-1) {(3s-8)/(s^2+4)-(4s-24)/(16-s^2 )}=L^(-1) {3s/(s^2+4)}-8L^(-1) {1/(s^2+4)}-4L^(-1) {s/(16-s^2 )}+24L^(-1) {1/(16-s^2 )}

=3 cos2t-8(sen2t/2)-4L^(-1) {(-5)/(s^2-16)}+24L^(-1) {(-1)/s^(2-16) }

=3cos2t-4sen2t+4cosh(4t)-24(senh4t/4)

=L^(-1) {(3s-8)/(s^2+4)-(4s-24)/(16-s^2 )}=3cos2t-4sen2t+4 cosh⁡(4t)-6senh(4t) R/

6)

L^(-1) {(s-1)/(s^2+2s+3)(s^2+2s+1) }

Solución

L^(-1) {(s-1)/(s^2+2s+3)(s^2+2s+1) }=L^(-1) {(s-1)/(s^2+2s+3)(s+1)2}

Se expresa la fracción algebraica en fracciones parciales:

(s-1)/(s^2+2s+3)(s+1)2=(As+B)/(s^2+2s+3)+C/(s+1)2+D/(s+1)

Se realiza la suma de las fracciones y se igualan los numeradores:

s-1=(AsB) (s+1)2+C(s^2+2s+3)+D(s+1)(s^2+2s+3)

s-1=(AsB)(s^2+2s+1)+Cs^2+Cs+3C+Ds^3+2Ds^2+3Ds+Ds^2+2Ds+3D

s-1=As^3+2As^2+As+As+Bs^2+2Bs+B+Cs^2+2Cs+3C+Ds^3+2Ds^2+3Ds+Ds^2+Ds+3D

s-1=(A+D) s^3+(2A+B+C+3D) s^2+(A+2B+2C+5D)s+(B+3C+3D)

Igualando coeficientes se tiene:

A+D=0 (1)

2A+B+C+3D=0 (2)

A+2B+2C+5D=1 (3)

B+3C+3D=-1 (4)

C= (S-1)/(S^2+2S+3)=(-1-1)/(1+2(-1)+3) = C=(-2)/2= C=-1 R/

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