Matematicas

Introducción

Las funciones son relaciones especiales entre dos cantidades, estas relaciones o modelos matemáticos aparecen en campos de estudio tan diversos como el comercio, la economía, las ciencias sociales, la física y la medicina. Debemos, por tanto, entender estas relaciones especiales y estudiar su aplicación en la solución de problemas reales de la administración y economía.

Al enfrentarse con un impuesto por contaminar, una compañía tiende a disminuir la contaminación ‘mientras ahorre más en costos de impuestos que en costos por reducción de contaminación’, los esfuerzos por reducción continúan hasta que el ahorro de impuestos y los costos por reducción empiezan a equilibrarse.

Este y otros problemas propios de las industrias se los puede analizar y resolver valiéndose de las diferentes clases de funciones matemáticas existentes. Hay entonces que desarrollar las habilidades necesarias, para representar determinados comportamientos mediante modelos matemáticos, que pueden ser una de las funciones que estudiaremos a continuación.

Asesoría didáctica 1

Supongamos que tenemos $ 5000 en el banco ganando intereses a una tasa anual del 10%. El interés y el tiempo están relacionados por la fórmula:

Esta fórmula asigna a cada valor que pueda tomar “t” un valor específico de “I” o lo que es igual, se ha establecido una regla para hallar el valor de “I” para cada valor que pueda tomar “t”.

A cada uno de los diferentes valores que puede tomar “t” se los denomina entradas y a los valores de “I” que corresponden a cada uno de estos, se los denomina salidas.

Valiéndonos de este ejemplo, podemos enunciar una de las definiciones más importantes en las matemáticas, la de función.

Una función es una regla, que asigna a cada uno de los valores de entrada, un valor de salida.

Revise en el texto guía las definiciones sobre funciones, dominio, rango, variable principal y variable dependiente, así como familiarícese con la nomenclatura usada. Con estos criterios bien establecidos, revise los ejercicios resueltos y resuelva algunos de los problemas propuestos, antes de resolver los problemas de la guía.

Asesoría didáctica 2

Estamos listos para analizar las funciones lineales y sus aplicaciones, empecemos con su definición:

Una función f es una función lineal si, y solo si f(x) se puede expresar en la forma: f(x) = ax + b, en donde a y b son constantes y a ≠ 0.

Es importante graficar correctamente estas ecuaciones que siempre son líneas rectas, para ello basta hallar dos puntos de la recta y unirlos, así como conocer otras formas de escribir las ecuaciones de las rectas.

Para mejor comprensión de este tema, lea y analice el estudio sobre la recta, capítulo II, del texto, Geometría Analítica, autor Ing. Hugo Iñiguez Palacios.

Si tenemos claro el concepto de función lineal, la podremos definir cuando conocemos algunos de sus elementos por ejemplo:

Halle f(x), si f es una función lineal que tiene las siguientes propiedades: f(-5) = -4 ; f(-8) = -7.

Como es una función lineal, será de la forma: f(x) = y = ax + b ; de acuerdo a los datos si x = -5 entonces y = f(x) = -4 por tanto:

-4 = a(-5) + b operando: -5a + b = -4

Hacemos lo mismo con la segunda condición:

-7 = a(-8) +b operando: -8a + b = -7

Resolvemos el sistema:

Despejamos b de la primera ecuación

b = 5a – 4.

Despejamos b de la segunda ecuación

b = 8a – 7 , igualamos los valores de b:

5a – 4 = 8a – 7

De donde: a = 1

Con este valor hallamos el de b:

De donde: b = 1

La función es: y = f(x) = x + 1

Como todas las funciones lineales son rectas, el problema lo podemos resolver diciendo:

f(-2) = - 1 es lo mismo que tener el punto P(-2 ; -1)

f(-4) = - 3 es lo mismo que tener el punto Q( -4 ; -3)

Con dos puntos definimos la pendiente: con este valor aplicamos la ecuación

de la recta en la forma punto- pendiente: y + 3 = 1 ( x + 4) operando: y = x + 1

Hay distintas maneras de de dar y obtener funciones lineales, veamos un ejemplo de esto:

Una Empresa de seguros paga a sus agentes de ventas, con base a un porcentaje de los primeros $ 50.000 en ventas, más otro porcentaje sobre cualquier cantidad que rebase ese valor. Si un agente recibió $ 3.500 por ventas de $75.000 y otro recibió $8.500 por ventas de $ 130.000, halle los dos porcentajes.

Los $ 3.500 son iguales, a un primer porcentaje (x) por los primeros $ 50.000 más un segundo porcentaje (y) por los $ 25.000, poniendo en forma de ecuación lineal:

3.500 = 50.000 x + 25.000 y (1)

8.500 = 50.000x + 80.000 y (2)

Resolvemos el sistema entre (1) y (2):

-3.500 = -50.000 x – 25.000 y

8.500 = 50.000 x + 80.000 y

5.000 = 55.000 y

De donde: y = 0,09 o 9%

Con este valor:

3.500 = 50.000 x + 25.000 (0.09)

3.500 = 50.000 x + 2.250

De donde: x = 0,02 o 2%

Asesoría didáctica 3

Del estudio de la parte correspondiente de su texto guía, debe tener claro qué es la oferta, demanda, utilidad y todos los demás conceptos sobre estos temas.

Para determinar el punto de equilibrio, hacemos sistema entre sus ecuaciones, que no es otra cosa más que hallar el punto de corte de las rectas que representan, pero debemos recordar que solo nos interesan los que se producen en el primer cuadrante.

Debemos tener muy en cuenta que las rectas de oferta y de demanda son funciones lineales, y a estas las podemos escribir como ecuaciones de rectas, por lo que debería revisar los apuntes de la recta que están a continuación, lo que le dará una mejor visión de cómo se trabaja con estas ecuaciones.

Ángulo entre dos rectas

Cuando dos rectas se cortan forman dos pares de ángulos llamados opuestos por el vértice; si nos piden el ángulo comprendido entre ellas no sabremos a cuál de ellos referirnos, para evitar esta confusión damos la siguiente definición:

Para definir el ángulo , basta dar direcciones a las rectas L1 y L2, (fig. a) si en cambio, queremos definir el ángulo , cambiamos la dirección de L1 (fig. b) con lo que el problema queda solucionado.

Antes de enunciar el teorema que nos permite definir el valor del ángulo formado por dos rectas que se cortan, revisemos algunos principios fundamentales:

En Geometría Analítica trabajamos únicamente con ángulos positivos, siendo estos, los que se generan en sentido antihorario, o en sentido contrario al que giran las manecillas del reloj.

La recta a partir de la cual se genera el ángulo, se llama recta inicial y la recta en la cual termina de generarse el ángulo, recta final. Las pendientes de estas rectas, se llamarán pendiente inicial y final respectivamente. Así en la figura a, el ángulo  empieza a generarse en la recta L1, que será el lado inicial, y termina en la recta L2 que será el lado final.

Si L1 y L2 son paralelas, el ángulo entre ellas será: 0 de igual manera si las rectas tienen igual dirección y 180 si sus direcciones son opuestas.

Los ángulos  y  son suplementarios, es decir, sumados dan 180.

El campo de variación del ángulo formado por dos rectas que se cortan, está comprendido entre 0o y 180.

Ángulo de inclinación

De acuerdo a la definición dada, el ángulo de inclinación de la recta L1 es 1 y el ángulo de inclinación de L2 es 2..

Por consiguiente, el campo de variación del ángulo de inclinación es:

0o    180º

Pendiente de una recta

Llamaremos pendiente de una recta, al valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Representamos a la pendiente mediante la letra “m “; por lo que: m = tg 

Si una recta es paralela al eje X, decimos que su ángulo de inclinación es de 0o o de 180º dependiendo de la dirección de la recta, en los dos casos su pendiente es igual a cero.

Si  es agudo, la pendiente de la recta es positiva, como en el caso de L1; si  es obtuso como en la recta L2, la pendiente es negativa.

Si la recta es paralela o coincidente con el eje Y, su ángulo de inclinación es 90º y su pendiente será igual a la tg 90º, como este valor no está definido, diremos que estas rectas no tienen pendiente.

Si hacemos girar la recta

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