Matematicas

UNIDAD 1

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

APRENDIZAJES

Al término de esta unidad, el alumno:

• Reconoce cuándo un sistema de ecuaciones es lineal o no, y cuáles son sus incógnitas.

• Recuerda el método de reducción para resolver un sistema de ecuaciones 2x2, y comprende la forma en que se extiende a un sistema 3x3.

• Reafirma el concepto de sistemas equivalentes y entiende que en los métodos algebraicos de resolución de un sistema de ecuaciones, se recurre a transformarlos a sistemas equivalentes de mayor simplicidad, hasta llegar a alguno que contiene una ecuación con una sola incógnita. Con ello, reafirma la estrategia matemática de convertir una situación desconocida o difícil, a otra conocida o más simple.

• Distingue cuando un sistema de ecuaciones 3x3 o 4x4, está escrito en forma triangular y explica qué ventajas aporta esta forma de resolverlo.

• Dado un sistema de ecuaciones lineales 3x3, utiliza el método de suma y resta para transformarlo a la forma triangular, y a partir de ahí, obtiene su solución.

• A través de la última ecuación de un sistema de ecuaciones escrito en forma triangular, identifica si éste es compatible o no, así como si es dependiente o no.

• En el caso de sistemas 2x2, ya sea que ambas ecuaciones sean lineales o incluyan cuadráticas, explica a partir de una gráfica, qué significa que el sistema tenga una, ninguna o una infinidad de soluciones.

• Para sistemas de ecuaciones 2x2 con ambas ecuaciones cuadráticas (dos parábolas, dos circunferencias, o una y una), traza un bosquejo que ilustre cómo están colocadas las gráficas y, en consecuencia, cuántas soluciones tendrá el sistema.

• Aplica el método de sustitución para resolver sistemas de dos ecuaciones en las que una de ellas o ambas son cuadráticas.

• Aprecia que el álgebra es útil para obtener información acerca del comportamiento de algunos objetos matemáticos, como es el caso de saber si dos gráficas se intersecan o no, cuántas veces y en dónde.

• Resuelve problemas que involucren sistemas de ecuaciones de los tipos estudiados en esta unidad, e interpreta el sentido de la solución hallada.

TEMÁTICA

• Situaciones que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales.

• Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2 y 3x3:

- Con solución única.

- Con infinidad de soluciones.

- Sin soluciones.

• Sistemas de Ecuaciones Equivalentes.

- Concepto.

- Forma triangular.

• Métodos de reducción y de sustitución.

• Sistemas de ecuaciones no lineales 2x2:

- Con una ecuación lineal y otra cuadrática.

- Con ambas ecuaciones cuadráticas.

- El significado gráfico de su solución.

- Método de sustitución.

• Problemas de aplicación.

Propósito de la unidad

En esta unidad se pretende ampliar el concepto de sistemas de ecuaciones y extender dos procedimientos algebraicos de solución. Al mismo tiempo que reafirmar el significado algebraico y gráfico de solución de un sistema. También, se desea que el alumno adquiera práctica en la operatividad algebraica y que conozca una herramienta para el manejo del método analítico.

Sesión 1

Actividad inicial

El costo económico por la compra de dos cuadernos y dos plumas, de cierto tipo, es de treinta pesos, pero si se compran 3 cuadernos y una pluma se pagan 35 pesos. ¿Se puede conocer el precio de los artículos?, ¿es posible establecer la representación algebraica del problema? Encuentra el costo de cada artículo, utilizando alguno de los métodos conocidos en el curso de Matemáticas I.

Sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2 y 3 x 3.

El problema anterior involucra para su representación algebraica dos ecuaciones y dos incógnitas de la forma:

A éstas, se les denomina comúnmente como un sistema de 2 x 2 o un sistema de ecuaciones simultaneas de 2 x 2.

En cambio, los sistemas que involucran tres ecuaciones y tres incógnitas se representan de la forma:

Se les denomina comúnmente un sistema de 3 x 3 o un sistema de ecuaciones simultaneas de 3 x 3.

Una solución es aquella que satisface a las ecuaciones del sistema.

Por ejemplo, el sistema de ecuaciones:

tiene como solución los valores de , ya que éstos satisfacen ambas ecuaciones, como se observa en la siguiente comprobación:

3 + 2(1) = 5

3 – 2(1) = 1

Algunos sistemas de ecuaciones son equivalentes; esto es, una de las ecuaciones es múltiplo de la otra. Por ejemplo, en este sistema:

las ecuaciones son equivalentes porque al dividir la segunda entre 2 se obtiene la primera, o al multiplicar por 2 la primera se obtiene la segunda.

Dado que las ecuaciones del sistema son equivalentes, existe una infinidad de soluciones para los valores de las incógnitas. En consecuencia, los valores de x = 2, y = 1 satisfacen las dos ecuaciones; también, los valores de x = , y = 2 satisfacen las dos ecuaciones; sin embargo, si se propone un valor para x se puede obtener el correspondiente para y. Esta situación genera que se obtengan muchas soluciones, tantas que se dice que es una infinidad de soluciones.

Cuando un sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones y las ecuaciones son equivalentes se le denomina sistema dependiente.

Cuando las ecuaciones de un sistema no son equivalentes, el sistema es independiente. Una característica del sistema independiente es que tiene una solución única.

A los sistemas de ecuaciones que no tienen una solución común, se les denomina sistemas incompatibles. Un ejemplo de sistemas incompatibles sería el siguiente:

Como se observa no existen dos números que sumados den como resultado 8 y al mismo tiempo sumados den como resultado 3, por lo tanto, se dice que el sistema es incompatible cuando no tiene solución.

Los criterios establecidos para los sistemas de ecuaciones de 2 x 2 son aplicables a sistemas de ecuaciones de 3 x 3, 4 x 4, etc.

Serie de ejercicios 1

1.- Determina si los siguientes sistemas de ecuaciones son:

- sistemas incompatibles que no tienen solución,

- sistemas independientes que tienen una solución,

- sistemas dependientes o equivalentes que tienen una infinidad de soluciones

a) b) c)

d) e)

2.- Problemas de aplicación

a) Una persona quiere usar queso cottage y yogurt para aumentar la cantidad de proteína y calcio en su dieta diaria. 28 gramos de queso cottage contiene 3 gramos de proteína y 12 miligramos de calcio. 28 gramos de yogurt contiene un gramo de proteína y 44 miligramos de calcio. ¿Cuántos gramos de queso cottage y yogurt debería comer al día para obtener exactamente 57 gramos de proteína y 840 miligramos de calcio?

b) A un bote le toma 8 horas recorrer 128.72 kilómetros corriente arriba y 5 horas el regreso a su punto de partida. Encuentra la velocidad del bote en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente.

c) Las ecuaciones para el precio-demanda y para el precio-oferta en el caso de las fresas en una cierta ciudad son:

Ecuación de demanda

Ecuación de abastecimiento

donde representa la cantidad en miles de libras y representa el precio en dólares. Encuentre la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio.

3.- Determina la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) b)

c) c)

Sesión 2

Actividad inicial

Tres kilos de aguacate y 2 kilos de tomate cuestan 70 pesos, pero por tres kilos de tomate se pagan quince pesos. ¿Es posible conocer el precio de las mercancías?, ¿se puede establecer un modelo matemático que represente esta situación?, ¿Cuál es el costo de medio kilo de aguacate y de tres cuartos de tomate?

Sistemas de ecuaciones escritos en forma triangular

Se dice que un sistema de ecuaciones simultáneas de 2 x 2 está escrito en forma triangular, cuando una de las ecuaciones contiene las dos incógnitas y la otra ecuación solamente una incógnita.

Se dice que un sistema de ecuaciones simultáneas de 3 x 3 está escrito en forma triangular, cuando una de las ecuaciones contiene las tres incógnitas, otra de las ecuaciones tiene dos incógnitas y la tercera ecuación solamente una incógnita.

La solución de un sistema de ecuaciones de 2 x 2 escrito en forma triangular se obtiene al determinar el valor de la incógnita de la ecuación que contiene una sola incógnita, y sustituirlo en la otra ecuación para obtener el valor de la segunda incógnita.

Ejemplo 1

Obtén la solución del sistema de ecuaciones:

… (1)

… (2)

Solución

Como el sistema se encuentra escrito en forma triangular se resuelve de la siguiente manera:

Se despeja x de la ecuación (2), esto es:

Al sustituir el valor de x en la

...