Matematicas

Justificación

Comprender el desarrollo de las ecuaciones y resoluciones matemáticas de este proyecto para poder darnos una idea de cómo interviene las matemáticas en los distintos oficios de ingenieros, profesionales, etc.

Objetivo general

Aplicar la parábola en la elaboración de puentes.

Objetivos Específicos

• Elaborar una maqueta para la mejor apreciación de la parábola en los puentes.

• Aplicar las ecuaciones de la parábola.

•

Planteamiento del Problema

Diferenciar los beneficios de los puentes hechos mediante la parábola con los puentes más comunes.

Marco Teórico

LA Parábola

Definición de parábola

En matemáticas, una parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

Aplicación en la elaboración de puentes

Cualquier puente sólo puede mantenerse si puede soportar su propio peso (llamado el peso muerto) y el peso de todo el tráfico que le atraviesa (llamada carga viva). La carga crea dos fuerzas principales que actúan sobre las partes de un puente. Las dos fuerzas son de compresión y tensión:

 Compresión - La fuerza de compresión empuja hacia abajo en la cubierta del puente de suspensión. Pero al ser un puente suspendido, los cables transfieren la compresión a las torres, que disipan la compresión directamente en la tierra donde están firmemente arraigadas.

 Tensión - Los cables de soporte, que corren entre dos anclajes, son los afortunados destinatarios de las fuerzas de tensión. Los cables son extendidos desde el peso del puente y su tráfico a medida que corren de anclaje a anclaje. Los anclajes están también bajo tensión, pero ya que al igual que las torres, se mantienen firmes en la tierra, la tensión que experimentan se disipa.

• La forma parabólica del puente colgante es también interesante. A primera vista, la curva puede ser descrita como una catenaria. Una catenaria es una curva creada por la gravedad, Sin embargo, debido a que la curva en un puente de suspensión no se crea solamente por gravedad (las fuerzas de compresión y tensión actúan en él) no puede ser considerado una catenaria, sino más bien una parábola. La forma parabólica permite a las fuerzas de compresión que deben transferirse a las torres, que sostiene el peso del tráfico. La forma parabólica también se puede demostrar matemáticamente, usando comparaciones fórmula.

Puente Juscelino Kubitschek, Brasilia, Brasil.

• Los arcos no se encuentran en el mismo plano y los cables de suspensión forman una superficie parabólica

En el puente Juscelino Kubitschek, Brasilia, Brasil. Los arcos no se encuentran en el mismo plano y los cables de suspensión forman una superficie parabólica

Asumiendo como cero el peso del cable principal comparado con el peso de la pista y de los vehículos que están siendo soportados, unos cables de un puente colgante formarán una parábola (muy similar a una catenaria, la forma de los cables principales sin cargar antes de que sea instalada la pista). Esto puede ser visto por un gradiente constante que crece con el crecimiento lineal de la distancia, este incremento en el gradiente a cada conexión con la pista crea un aumento neto de la fuerza. Combinado con las relativamente simples constituidas puestas sobre la pista actual, esto hace que los puentes colgantes sean más simples de diseñar, calcular y analizar que los puentes atirantados, donde la pista está en compresión.

Los principios de suspensión usados en grandes puentes pueden también aparecer en contextos menores que dichos puentes de carretera o ferrocarril. La suspensión con cables ligeros puede servir como una solución menos cara y más elegante para puentes peatonales que soportarlas mediante un gran enrejado.

Donde un puente une dos edificios próximos no es necesario construir torres y los mismos edificios pueden sostener los cables. La suspensión con cables puede ser también aumentada con la inherente rigidez de una estructura teniendo mucho en común a un puente tubular.

La mayoría de los puentes colgantes usan estructuras de acero reticuladas para soportar la carretera (particularmente poseyendo los efectos desfavorables).

Recientes desarrollos en aerodinámica de puentes han permitido la introducción de estructuras de plataforma. Esto posibilita la construcción de este tipo sin el peligro de que se generen remolinos de aire (cuando sopla el viento) que hagan retorcerse al puente como ocurrió con el puente de Tacoma Narrows.

En los puente colgantes, la estructura resistente básica está formada por los cables principales, que se fijan en los extremos del vano a salvar, y tienen la flecha necesaria para soportar mediante un mecanismo de tracción pura, las cargas que actúan sobre él.

El puente colgante más elemental es el puente Catenaria, donde los propios cables principales sirven de plataforma de paso.

Ejemplo Caterina

Paradójicamente, la gran virtud y el gran defecto de los puentes colgantes se deben a una misma cualidad: su ligereza.

La ligereza de los puentes colgantes, los hace más sensibles que ningún otro tipo al aumento de las cargas de tráfico que circulan por él, porque su relación peso propio/carga de tráfico es mínima; es el polo opuesto del puente de piedra.

Actualmente los puentes colgantes se utilizan casi exclusivamente para grandes luces; por ello, salvo raras excepciones, todos tienen tablero metálico. El puente colgante es, igual que el arco, una estructura que resiste gracias a su forma; en este caso salva una determinada luz mediante un mecanismo resistente que funciona exclusivamente a tracción, evitando gracias a su flexibilidad, que aparezcan flexiones en él. El cable es un elemento flexible, lo que quiere decir que no tiene rigidez y por tanto no resiste flexiones. Si se le aplica un sistema de fuerzas, tomará la forma necesaria para que en él sólo se produzcan esfuerzos axiles de tracción; si esto lo fuera posible no resistiría. Por tanto, la forma del cable coincidirá forzosamente con la línea generada por la trayectoria de una de las posibles composiciones del sistema de fuerzas que actúan sobre él. Esta línea es el funicular del sistema de cargas, que se define precisamente como la forma que toma un hilo flexible cuando se aplica sobre él un sistema de fuerzas. La curva del cable de un puente colgante es una combinación de la catenaria, porque el cable principal pesa, y de la parábola, porque también pesa el tablero; sin embargo la diferencia entre ambas curvas es mínima, y por ello en los cálculos generalmente se ha utilizado la parábola de segundo grado. El cable principal es el elemento básico de la estructura resistente del puente colgante. Su montaje debe salvar el vano entre las dos torres y para ello hay que tenderlo en el vacío. Esta fase es la más complicada de la construcción de los puentes colgantes. Inicialmente se montan unos cables auxiliares, que son los primeros que deben salvar la luz del puente y llegar de contrapeso a contrapeso.

La mayoría de los grandes puentes colgantes están situados sobre zonas navegables, y por ello permite pasar los cables iniciales con un remolcador; pero esto no es siempre posible. Como el sistema de cargas de los puentes es variable porque lo son las cargas de tráfico, los puentes colgantes en su esquema elemental son muy deformables. Este esquema elemental consiste en el cable principal, las péndolas, y un tablero sin rigidez, o lo que es lo mismo, con articulaciones en los puntos de unión con las péndolas. En la mayoría de los puentes colgantes, las péndolas que soportan el tablero son verticales.

El esquema clásico de los puentes colgantes admite pocas variaciones; los grandes se han hecho siempre con un cable principal en cada borde del tablero.

Las torres han sido siempre los elementos más difíciles de proyectar de los puentes colgantes, porque son los que permiten mayor libertad. Por eso en ellas se han dado toda clase de variantes. En los años 20 fueron adquiriendo ya una forma propia, no heredada, adecuada a su función y a su material; la mayoría tienen dos pilares con sección cajón de alma llena, unidos por riostras horizontales, o cruces de San Andrés. En los últimos puentes colgantes europeos construidos con torres metálicas, se ha utilizado un nuevo sistema de empalme de las chapas que forman los pilares verticales. En vez de utilizar uniones roblonadas o atornilladas mediante solape de chapas, como se hizo en los puentes americanos, las uniones se hacen a tope, rectificando mediante fresado el contacto de los distintos módulos que se van superponiendo, de forma que las compresiones se transmiten directamente de chapa a chapa; la unión entre ellas se hace mediante soldadura parcial de la junta. Así se han hecho las torres del puente Severn en

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