Matematicas

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.

Resolución:

1. Cualquier número par puede expresarse en la forma 2x.

2. Sea pues 2x un número par. El par consecutivo de 2x es 2x + 2.

3. El producto de los dos números es 168: 2x(2x + 2) = 168. Se plantea así una ecuación de segundo grado que hay que resolver.

4. 2x(2x + 2) = 168

4x2 + 4x - 168 = 0.

5. Dividiendo toda la ecuación entre 4, resulta x2 + x - 42 = 0.

6. Si x = 6, 2x + 2 = 12 + 2 = 14

Una solución es 12 y 14.

7. Si x = -7, 2x + 2 = -14 + 2 = -12

Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son -14 y -12.

El problema tiene dos soluciones: 12 y 14; -12 y -14.

2. Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380.

Resolución:

1. Si x es uno de los números, el otro será 39 - x, puesto que entre las dos han de sumar 39.

2. El producto de los dos números es 380:

x(39 - x) = 380

3. Las soluciones de esta ecuación son:

x(39 - x) = 380 Þ 39x - x2 - 380 = 0 Þ x2 - 39x + 380 = 0

Si un número es 20, el otro será 39 - 20 = 19.

Si un número es 19, el otro será 39 - 19 = 20.

3. Se han comprado gomas de borrar por un total de 60 pta. Si se hubieran comprado tres gomas más, el comerciante habría hecho un descuento de 1 peseta en cada una, y el precio total habría sido el mismo. ¿Cuántas gomas se compraron?

Resolución:

1. Sea x el número de gomas que se han comprado por 60 pesos. El precio de cada goma se obtendrá dividiendo el precio total entre el número de gomas.

Sería de 1 peso. Menos cada una, entonces se obtendrá:

2. Resolviendo esta ecuación:

 60x + 180 - x2 -3x = 60x  x2 + 3x - 180 = 0

El número de gomas que se compraron fue 12, ya que una solución negativa para

un número de objetos no tiene sentido. Cada goma costó 60/12 pesos.

Si se hubieran comprado 3 gomas más, es decir, 15 gomas, el precio hubiese sido

de 4 pesos cada una.

4. Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerlo separadamente, si uno tarda 5 horas más que el otro?

Resolución:

1. Sea x el número de horas que emplea el primer obrero en realizar el trabajo.

del trabajo.

2. Se resuelve la ecuación:

m.c.m. (x, 5 + x, 12) = 12 × x × (5 + x)

12 × (5 + x) + 12x = x(5 + x)

60 + 12x + 12x = 5x + x2

x2 - 19x - 60 = 0

El primer obrero tarda en realizar el trabajo, él solo, 21,75 horas, es decir, 21 horas y

45 minutos.

El segundo obrero tarda 5 horas más, es decir, 26 horas y 45 minutos.

5. Una ecuación de segundo grado con un incógnita tiene una solución igual a 3 y el término independiente vale 15. Calcular la ecuación.

Resolución:

1. Por ser 3 solución de la ecuación, ésta

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