Metodo De Disco

Metodo de Discos.

Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de discos. El área transversal de los discos será el área de un circulo , y el ancho será un . Es importante saber el eje de rotacion, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuación en función de la variable específicamente. Por ejemplo si rotaramos la funcion en el eje y, despejamos la funcion dependiendo de y. Siendo el ancho del disco .

Por lo tanto,

n = Cantidad de discos usados

Usualmente el radio del disco esta dado por le función. Para estos casos, haciendo el numero de discos tender al infinito:

Ahora lo cambiamos a forma de integral (si es el limite inferior y es el limite superior):

.</br>

En el caso de que el radio no este dado por la función, debemos encontrarlo segun las condiciones del problema dado.

De forma mas general, el volumen será:

(si r esta en función de x).

El eje de rotación forma parte del contorno del área plana.

1. Se traza un diagrama indicando el área generatíz, una franja representativa perpendicular al eje de rotación, y su rectángulo generico.

2. Se halla el volúmen del disco producido en la rotación del rectángulo genérico alrededor del eje de rotación y la suma correspondiente a los n rectángulos.

3. Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integrales suponiendo que el número de rectágulos crece indefinidamente.

Ejemplo

Hallar el volúmen generado al girar el área limitada por la parábola alrededor de la ordenada correspondiente a x = 2.

Dividiendo el área mediente franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y se procede un disco de radio 2 - x, de altura \Delta y y de volúmen .

El volúmen pedido será:

El eje de rotación no forma parte del contorno del área plana

1. Se procede como en el apartado (1) anterior.

2. Se prolongan los lados del rectángulo genérico, ABCD, hasta que corten al eje de rotación en E y en F. Cuando éste rectángulo gire alrededor del eje de rotación se produce un cilíndro cuyo volúmen es igual a la diferencia entre los volúmenes generados por los rectángulos EABF y ECDF al girar con respecto al mismo eje. Se halla la diferencia de éstos dos volúmenes y se procede como en el apartado (2) anterior.

3. Se procede como en el apartado (3) anterior.

Ejemplo

Hallar el volúmen generado en la rotación del área limitada por y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje y.

Dividiendo el área mediante franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y, se produce un disco cuyo volúmen es igual a la diferencia entre volúmenes generados al girar los rectángulos ECDF(de dimensiones 2 por y EABF (de dimensiones x por con respecto al eje , es decir, . El volúmen que se desea encontrar será:

Ejemplo # 1

Ejemplo 1. f(x) = x^3. Volúmenes por el método de discos

Encontrar el volúmen del sólido obtenido al hacer girar

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